Номер 32.7, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.7. В шар, длина радиуса которого равна 3 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка попадает в шар, находящийся внутри первого шара, длина радиуса которого равна 2 см.

32.7.Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность попадания точки в некоторую область пространства равна отношению меры (в данном случае, объема) этой области к мере всего пространства, в которое может попасть точка.

В нашем случае, общее пространство - это большой шар, а благоприятное событие - это попадание точки в малый шар, который находится внутри большого.

Пусть $R$ - радиус большого шара, а $r$ - радиус малого шара.

По условию задачи:

$R = 3$ см

$r = 2$ см

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi x^3$, где $x$ - радиус шара.

Найдем объем большого шара ($V_{большого}$):

$V_{большого} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ см³.

Найдем объем малого шара ($V_{малого}$):

$V_{малого} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi$ см³.

Вероятность $P$ того, что точка попадет в малый шар, равна отношению объема малого шара к объему большого шара:

$P = \frac{V_{малого}}{V_{большого}} = \frac{\frac{32}{3}\pi}{36\pi}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{\frac{32}{3}}{36} = \frac{32}{3 \cdot 36} = \frac{32}{108}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$P = \frac{32 \div 4}{108 \div 4} = \frac{8}{27}$

Можно было решить проще, заметив, что отношение объемов шаров равно кубу отношения их радиусов:

$P = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \left(\frac{r}{R}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.