Номер 32.10, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.10.1)

Случайным образом выбирается целое число из промежутка [1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x + 6 < 0$.

2)

Случайным образом выбирается целое число из промежутка [1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

1)

Согласно условию, случайным образом выбирается целое число из промежутка $[1; 10]$. Множество всех возможных исходов состоит из целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Общее число элементарных исходов $N = 10$.

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что выбранное число является решением неравенства $x^2 - 5x + 6 < 0$. Найдем целые решения этого неравенства.

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции меньше нуля находятся между корнями. Таким образом, решением неравенства $x^2 - 5x + 6 < 0$ является интервал $(2; 3)$.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, которые попадают в интервал $(2; 3)$. В этом интервале нет ни одного целого числа.

Количество благоприятных исходов $m = 0$.

Вероятность события $P$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{N}$.

Подставляя наши значения, получаем: $P = \frac{0}{10} = 0$.

Ответ: 0.

2)

Как и в предыдущей задаче, общее число возможных исходов $N = 10$, так как мы выбираем одно из десяти целых чисел от 1 до 10.

Найдем количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это выбор такого целого числа из промежутка $[1; 10]$, которое является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

Решим это квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-1; 6]$.

Теперь определим, какие целые числа из исходного промежутка $[1; 10]$ попадают в отрезок $[-1; 6]$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Количество таких чисел, то есть число благоприятных исходов, равно $m = 6$.

Вероятность данного события равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,6.