Номер 32.9, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.9. На отрезке $AB$ длиной 12 см наугад ставят точку $M$. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке $AM$, будет заключена между площадями, равными $36 \text{ см}^2$ и $81 \text{ см}^2$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Пространством всех возможных элементарных исходов является отрезок AB.

Пусть отрезок AB лежит на числовой оси, причем точка A совпадает с началом координат (0), а точка B имеет координату 12. Тогда любая точка M, выбранная наугад на отрезке AB, будет иметь координату $x$, где $x$ — случайное число из отрезка $[0, 12]$. Длина этого отрезка (мера всего пространства исходов) равна $L = 12$ см.

Длина отрезка AM равна координате точки M, то есть $l_{AM} = x$. Площадь квадрата, построенного на отрезке AM, вычисляется по формуле $S = (l_{AM})^2 = x^2$.

Согласно условию, площадь этого квадрата должна быть заключена между 36 см² и 81 см². Запишем это в виде двойного неравенства:

$36 < S < 81$

Подставим выражение для площади:

$36 < x^2 < 81$

Так как $x$ представляет собой длину, то $x \ge 0$. Мы можем извлечь квадратный корень из всех частей неравенства:

$\sqrt{36} < \sqrt{x^2} < \sqrt{81}$

$6 < x < 9$

Это означает, что для выполнения условия задачи точка M должна попасть в интервал (6, 9). Этот интервал является подмножеством отрезка [0, 12] и представляет собой множество благоприятных исходов. Длина этого интервала (мера благоприятных исходов) равна $l = 9 - 6 = 3$ см.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины интервала благоприятных исходов к длине всего отрезка:

$P = \frac{l}{L} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.