Номер 32.11, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.11.1) В квадрат, длина стороны которого равна 1 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что расстояние от точки А до стороны квадрата не превосходит $ \frac{1}{3} $?

2) В квадрат, длина стороны которого равна 1 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что расстояние от точки А до центра квадрата не превосходит $ \frac{1}{3} $?

3) В квадрат, длина стороны которого равна 1 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что расстояние от точки А до указанной вершины квадрата не превосходит $ \frac{1}{4} $?

1) Эта задача решается с помощью геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной для события области к площади всей области, в которую бросается точка.
В данном случае, общая область — это квадрат со стороной 1 см. Его площадь $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$ см².
Благоприятным событием является попадание точки А в область, где расстояние от нее до ближайшей стороны квадрата не превышает $1/3$ см.
Рассмотрим квадрат в системе координат, занимающий область $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$. Расстояния от точки $A(x, y)$ до четырех сторон квадрата равны $x$, $1-x$, $y$ и $1-y$. Условие "расстояние от точки А до стороны квадрата не превосходит $1/3$" означает, что расстояние до ближайшей из сторон не больше $1/3$, то есть $\min(x, 1-x, y, 1-y) \le 1/3$.
Проще вычислить площадь неблагоприятной области, то есть множества точек, для которых это условие не выполняется. Это область, где расстояние до ближайшей стороны больше $1/3$: $\min(x, 1-x, y, 1-y) > 1/3$.
Это неравенство эквивалентно системе: $x > 1/3$, $1-x > 1/3$ (т.е. $x < 2/3$), $y > 1/3$ и $1-y > 1/3$ (т.е. $y < 2/3$).
Эти условия определяют внутренний квадрат со стороной $2/3 - 1/3 = 1/3$.
Площадь неблагоприятной области $S_{небл} = (1/3)^2 = 1/9$ см².
Благоприятная область — это "рамка" между границами большого квадрата и этим внутренним квадратом. Её площадь (закрашена на рисунке) равна разности общей и неблагоприятной площадей:
$S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 1 - 1/9 = 8/9$ см².

Искомая вероятность равна отношению благоприятной площади к общей:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{8/9}{1} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $8/9$.

2) Общая площадь, как и ранее, $S_{общ} = 1$ см².
Центр квадрата со стороной 1 находится на расстоянии $1/2$ от каждой стороны. Благоприятное событие — расстояние от точки А до центра квадрата не превосходит $1/3$.
Это условие описывает круг с центром в центре квадрата и радиусом $r = 1/3$. Поскольку радиус круга ($1/3$) меньше половины стороны квадрата ($1/2$), этот круг полностью находится внутри квадрата.
Следовательно, благоприятная область — это круг радиусом $1/3$ (закрашен на рисунке).
Площадь благоприятной области равна площади этого круга:
$S_{бл} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{\pi}{9}$ см².

Вероятность равна:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\pi/9}{1} = \frac{\pi}{9}$.
Ответ: $\pi/9$.

3) Общая площадь $S_{общ} = 1$ см².
Расположим квадрат в системе координат так, чтобы указанная вершина находилась в начале координат $(0,0)$, а сам квадрат занимал область $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$.
Благоприятное событие — расстояние от точки А до указанной вершины не превосходит $1/4$. Математически это условие для точки $A(x,y)$ записывается как $\sqrt{x^2 + y^2} \le 1/4$.
Это неравенство описывает круг с центром в указанной вершине и радиусом $r = 1/4$.
Так как точка А должна находиться внутри квадрата (в первом координатном квадранте относительно этой вершины), благоприятная область — это часть круга, которая принадлежит квадрату. Это сектор, составляющий четверть полного круга (закрашен на рисунке).
Площадь этой области равна:
$S_{бл} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{1}{16} = \frac{\pi}{64}$ см².

Вероятность равна:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\pi/64}{1} = \frac{\pi}{64}$.
Ответ: $\pi/64$.