Номер 32.15, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*32.15. В куб вписан шар. Точка наугад бросается в куб. Найдите вероятность того, что она не попадет в шар.

Для решения этой задачи используется понятие геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно брошенная в куб точка окажется в некоторой области внутри него, равна отношению объема этой области к объему всего куба.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что точка не попадет в шар. Вероятность этого события ($P_{непоп}$) можно найти как разность единицы и вероятности противоположного события – попадания точки в шар ($P_{поп}$).

$P_{непоп} = 1 - P_{поп}$

Вероятность попадания точки в шар равна отношению объема шара к объему куба:

$P_{поп} = \frac{V_{шара}}{V_{куба}}$

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Тогда объем куба равен:

$V_{куба} = a^3$

Шар вписан в куб. Это означает, что шар касается всех шести граней куба изнутри. Следовательно, диаметр шара равен длине ребра куба: $d = a$.

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу выражение для радиуса $R = \frac{a}{2}$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Теперь найдем вероятность попадания точки в шар:

$P_{поп} = \frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6}$

Наконец, найдем искомую вероятность того, что точка не попадет в шар:

$P_{непоп} = 1 - P_{поп} = 1 - \frac{\pi}{6}$

Ответ: $1 - \frac{\pi}{6}$.