Номер 32.14, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*32.14. В шар вписан куб. Точка наугад бросается в шар. Какова вероятность того, что она попадет в куб?

Вероятность того, что точка, брошенная наугад в шар, попадет во вписанный в него куб, определяется как отношение объема куба к объему шара. Это задача на геометрическую вероятность.

$P = \frac{V_{куб}}{V_{шар}}$

Для нахождения этой вероятности необходимо выразить объемы обеих фигур через одну и ту же переменную, например, радиус шара $R$.

1. Установление связи между ребром куба и радиусом шара

Пусть сторона куба равна $a$, а радиус шара — $R$.

Когда куб вписан в шар, все его вершины лежат на поверхности шара. Главная диагональ куба, соединяющая две самые дальние его вершины, проходит через центр шара и равна его диаметру.

Длина главной диагонали куба ($d_{куб}$) со стороной $a$ находится по теореме Пифагора в пространстве и равна $d_{куб} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр шара ($D_{шар}$) с радиусом $R$ равен $D_{шар} = 2R$.

Так как $d_{куб} = D_{шар}$, мы можем записать равенство:

$a\sqrt{3} = 2R$

Выразим сторону куба $a$ через радиус шара $R$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

2. Вычисление объемов куба и шара

Объем куба ($V_{куб}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V_{куб} = a^3$. Подставим в нее найденное выражение для $a$:

$V_{куб} = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$

Объем шара ($V_{шар}$) с радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3$

3. Расчет искомой вероятности

Теперь мы можем найти вероятность $P$, разделив объем куба на объем шара:

$P = \frac{V_{куб}}{V_{шар}} = \frac{\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Сократим общие множители ($R^3$ и $\frac{1}{3}$) в числителе и знаменателе:

$P = \frac{8/\sqrt{3}}{4\pi} = \frac{8}{4\pi\sqrt{3}} = \frac{2}{\pi\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{2}{\pi\sqrt{3}}$