Номер 32.12, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.12. На координатной плоскости построены две концентрические окружности, длины радиусов которых равны $5 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$.

Точка брошена наудачу в большой круг. Найдите вероятность того, что точка попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — площади) благоприятствующей этому событию области к мере всей области возможных исходов.

Изобразим наглядно условие задачи:

Обозначим радиус большей окружности как $R$ и радиус меньшей окружности как $r$. Согласно условию, $R = 10$ см и $r = 5$ см.

1. Найдём площадь большого круга. Это общая область, куда может быть брошена точка. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Площадь большого круга $S_{большого}$: $S_{большого} = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см$^2$.

2. Найдём площадь кольца. Кольцо — это область, попадание в которую является благоприятным исходом. Его площадь $S_{кольца}$ равна разности площадей большого и малого кругов. Сначала вычислим площадь малого круга $S_{малого}$: $S_{малого} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см$^2$. Теперь найдём площадь кольца: $S_{кольца} = S_{большого} - S_{малого} = 100\pi - 25\pi = 75\pi$ см$^2$.

3. Найдём вероятность. Вероятность $P$ попадания точки в кольцо равна отношению площади кольца к площади большого круга: $P = \frac{S_{кольца}}{S_{большого}} = \frac{75\pi}{100\pi}$.

Сокращаем $\pi$ и дробь $\frac{75}{100}$: $P = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 0,75$.

Ответ: 0,75.