Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13.2. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии $ (c_n) $, если:

1) $ a_1 = 7, d = 3; $

2) $ a_1 = 1,3, d = -0,2; $

3) $ a_1 = -2,5, d = 0,7; $

4) $ a_1 = \frac{2}{7}, d = \frac{1}{3}. $

Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$). Для нахождения каждого последующего члена используется формула $a_{n+1} = a_n + d$.

1) Даны первый член арифметической прогрессии $a_1 = 7$ и её разность $d = 3$.
Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = 7$
$a_2 = a_1 + d = 7 + 3 = 10$
$a_3 = a_2 + d = 10 + 3 = 13$
$a_4 = a_3 + d = 13 + 3 = 16$
$a_5 = a_4 + d = 16 + 3 = 19$
$a_6 = a_5 + d = 19 + 3 = 22$
Ответ: 7, 10, 13, 16, 19, 22.

2) Даны первый член арифметической прогрессии $a_1 = 1,3$ и её разность $d = -0,2$.
Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = 1,3$
$a_2 = a_1 + d = 1,3 + (-0,2) = 1,1$
$a_3 = a_2 + d = 1,1 + (-0,2) = 0,9$
$a_4 = a_3 + d = 0,9 + (-0,2) = 0,7$
$a_5 = a_4 + d = 0,7 + (-0,2) = 0,5$
$a_6 = a_5 + d = 0,5 + (-0,2) = 0,3$
Ответ: 1,3; 1,1; 0,9; 0,7; 0,5; 0,3.

3) Даны первый член арифметической прогрессии $a_1 = -2,5$ и её разность $d = 0,7$.
Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = -2,5$
$a_2 = a_1 + d = -2,5 + 0,7 = -1,8$
$a_3 = a_2 + d = -1,8 + 0,7 = -1,1$
$a_4 = a_3 + d = -1,1 + 0,7 = -0,4$
$a_5 = a_4 + d = -0,4 + 0,7 = 0,3$
$a_6 = a_5 + d = 0,3 + 0,7 = 1,0$
Ответ: -2,5; -1,8; -1,1; -0,4; 0,3; 1,0.

4) Даны первый член арифметической прогрессии $a_1 = \frac{2}{7}$ и её разность $d = \frac{1}{3}$.
Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю 21.
$d = \frac{1}{3} = \frac{7}{21}$
Найдём первые шесть членов прогрессии:
$a_1 = \frac{2}{7}$
$a_2 = a_1 + d = \frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}$
$a_3 = a_2 + d = \frac{13}{21} + \frac{7}{21} = \frac{20}{21}$
$a_4 = a_3 + d = \frac{20}{21} + \frac{7}{21} = \frac{27}{21} = \frac{9}{7}$
$a_5 = a_4 + d = \frac{9}{7} + \frac{1}{3} = \frac{27}{21} + \frac{7}{21} = \frac{34}{21}$
$a_6 = a_5 + d = \frac{34}{21} + \frac{1}{3} = \frac{34}{21} + \frac{7}{21} = \frac{41}{21}$
Ответ: $\frac{2}{7}, \frac{13}{21}, \frac{20}{21}, \frac{9}{7}, \frac{34}{21}, \frac{41}{21}$.

13.3. Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите:

1) $a_7$, если $a_1 = -3$ и $d = 2$;

2) $a_5$, если $a_1 = 2,3$ и $d = 1,2$;

3) $a_{11}$, если $a_1 = -2,1$ и $d = -2,3$;

4) $a_9$, если $a_1 = 0,6$ и $d = 1,02$.

Для решения задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

1) Дано: $a_1 = -3$ и $d = 2$. Необходимо найти $a_7$.

Подставляем известные значения в формулу для $n=7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = -3 + 6 \cdot 2 = -3 + 12 = 9$.

Ответ: 9.

2) Дано: $a_1 = 2,3$ и $d = 1,2$. Необходимо найти $a_5$.

Подставляем известные значения в формулу для $n=5$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = 2,3 + 4 \cdot 1,2 = 2,3 + 4,8 = 7,1$.

Ответ: 7,1.

3) Дано: $a_1 = -2,1$ и $d = -2,3$. Необходимо найти $a_{11}$.

Подставляем известные значения в формулу для $n=11$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = -2,1 + 10 \cdot (-2,3) = -2,1 - 23 = -25,1$.

Ответ: -25,1.

4) Дано: $a_1 = 0,6$ и $d = 1,02$. Необходимо найти $a_9$.

Подставляем известные значения в формулу для $n=9$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = 0,6 + 8 \cdot 1,02 = 0,6 + 8,16 = 8,76$.

Ответ: 8,76.

13.4. Найдите $a_{19}$ и $n$-й член арифметической прогрессии:

1) 0,5; -1; -2,5; ...

2) 13; 7; 1; ...

3) -3,3; -1,2; 0,9; ...

4) 2; 14; 26.

1) Дана арифметическая прогрессия: $0,5; -1; -2,5; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 0,5$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -1 - 0,5 = -1,5$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения, чтобы найти формулу для n-го члена данной прогрессии:
$a_n = 0,5 + (n-1)(-1,5) = 0,5 - 1,5n + 1,5 = 2 - 1,5n$.
Теперь найдем 19-й член прогрессии $a_{19}$, подставив $n=19$ в полученную формулу:
$a_{19} = 2 - 1,5 \cdot 19 = 2 - 28,5 = -26,5$.
Ответ: $a_{19} = -26,5$, $a_n = 2 - 1,5n$.

2) Дана арифметическая прогрессия: $13; 7; 1; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 13$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 7 - 13 = -6$.
Выведем формулу для n-го члена данной прогрессии по общей формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 13 + (n-1)(-6) = 13 - 6n + 6 = 19 - 6n$.
Теперь найдем 19-й член прогрессии $a_{19}$, подставив $n=19$ в полученную формулу:
$a_{19} = 19 - 6 \cdot 19 = 19 - 114 = -95$.
Ответ: $a_{19} = -95$, $a_n = 19 - 6n$.

3) Дана арифметическая прогрессия: $-3,3; -1,2; 0,9; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = -3,3$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = -1,2 - (-3,3) = -1,2 + 3,3 = 2,1$.
Выведем формулу для n-го члена данной прогрессии по общей формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = -3,3 + (n-1)(2,1) = -3,3 + 2,1n - 2,1 = 2,1n - 5,4$.
Теперь найдем 19-й член прогрессии $a_{19}$, подставив $n=19$ в полученную формулу:
$a_{19} = 2,1 \cdot 19 - 5,4 = 39,9 - 5,4 = 34,5$.
Ответ: $a_{19} = 34,5$, $a_n = 2,1n - 5,4$.

4) Дана арифметическая прогрессия: $2; 14; 26$.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 14 - 2 = 12$.
Выведем формулу для n-го члена данной прогрессии по общей формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 2 + (n-1)(12) = 2 + 12n - 12 = 12n - 10$.
Теперь найдем 19-й член прогрессии $a_{19}$, подставив $n=19$ в полученную формулу:
$a_{19} = 12 \cdot 19 - 10 = 228 - 10 = 218$.
Ответ: $a_{19} = 218$, $a_n = 12n - 10$.

13.5. 1) Материальная точка в первую секунду движения прошла 6 см пути, а за каждую следующую секунду проходила на 2 см пути больше, чем за предыдущую секунду. Сколько сантиметров пути прошла точка за седьмую секунду?

2) Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость движения на 40 м/мин. Какой была скорость поезда через 20 минут?

1) Движение материальной точки представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый член — это расстояние, пройденное за соответствующую секунду.
Первый член прогрессии $a_1$ — это путь, пройденный за первую секунду, и он равен 6 см.
Разность прогрессии $d$ — это величина, на которую увеличивается путь каждую следующую секунду, и она равна 2 см.
Нам необходимо найти путь, который точка прошла за седьмую секунду, то есть найти седьмой член прогрессии $a_7$.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в формулу известные значения, где $n=7$:
$a_7 = 6 + (7-1) \cdot 2$
$a_7 = 6 + 6 \cdot 2$
$a_7 = 6 + 12$
$a_7 = 18$
Таким образом, за седьмую секунду материальная точка прошла 18 см.
Ответ: 18 см.

2) По условию, поезд отходит от станции, следовательно, его начальная скорость $v_0$ равна 0.
Скорость поезда увеличивается равномерно, то есть с постоянным ускорением. Каждую минуту скорость увеличивается на 40 м/мин, значит, ускорение поезда $a$ составляет 40 м/мин².
Требуется найти скорость поезда $v$ через время $t = 20$ минут.
Для равноускоренного движения используется формула скорости: $v = v_0 + a \cdot t$.
Подставим в формулу данные из условия задачи:
$v_0 = 0$ м/мин
$a = 40$ м/мин²
$t = 20$ мин
$v = 0 + 40 \cdot 20$
$v = 800$ м/мин
Через 20 минут скорость поезда составит 800 м/мин.
Ответ: 800 м/мин.

13.6. Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите:

1) $a_1$, если $a_7 = -8$ и $d = 3$;

2) $a_1$, если $a_{10} = 7,3$ и $d = -0,2$;

3) $a_1$, если $a_{13} = -23,4$ и $d = 2,5$;

4) $a_1$, если $a_{27} = 10,6$ и $d = -1,12$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии.
Чтобы найти $a_1$, выразим его из формулы: $a_1 = a_n - (n-1)d$.

1) $a_1$, если $a_7 = -8$ и $d = 3$;
Подставляем в формулу $n=7$, $a_7 = -8$ и $d=3$:
$a_1 = a_7 - (7-1)d = -8 - 6 \cdot 3$
$a_1 = -8 - 18$
$a_1 = -26$
Ответ: -26.

2) $a_1$, если $a_{10} = 7,3$ и $d = -0,2$;
Подставляем в формулу $n=10$, $a_{10} = 7,3$ и $d=-0,2$:
$a_1 = a_{10} - (10-1)d = 7,3 - 9 \cdot (-0,2)$
$a_1 = 7,3 - (-1,8)$
$a_1 = 7,3 + 1,8 = 9,1$
Ответ: 9,1.

3) $a_1$, если $a_{13} = -23,4$ и $d = 2,5$;
Подставляем в формулу $n=13$, $a_{13} = -23,4$ и $d=2,5$:
$a_1 = a_{13} - (13-1)d = -23,4 - 12 \cdot 2,5$
$a_1 = -23,4 - 30$
$a_1 = -53,4$
Ответ: -53,4.

4) $a_1$, если $a_{27} = 10,6$ и $d = -1,12$.
Подставляем в формулу $n=27$, $a_{27} = 10,6$ и $d=-1,12$:
$a_1 = a_{27} - (27-1)d = 10,6 - 26 \cdot (-1,12)$
$a_1 = 10,6 + 29,12$
$a_1 = 39,72$
Ответ: 39,72.

13.7. Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, в которой:

1)

$a_1 = 3$ и $a_7 = -8$;

2)

$a_3 = -2,3$ и $a_7 = -8$;

3)

$a_2 = -1,7$ и $a_8 = 7,6$;

4)

$a_5 = 21,5$ и $a_7 = 6,8$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула, связывающая два любых члена прогрессии $a_n$ и $a_m$: $a_n = a_m + (n-m)d$. Из этой формулы можно выразить разность прогрессии: $d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$. Мы будем использовать эту формулу для решения всех подпунктов.

1) Даны $a_1 = 3$ и $a_7 = -8$.
Подставим значения в формулу, где $n=7$ и $m=1$:
$d = \frac{a_7 - a_1}{7-1} = \frac{-8 - 3}{6} = \frac{-11}{6} = -1\frac{5}{6}$.
Ответ: $-1\frac{5}{6}$.

2) Даны $a_3 = -2{,}3$ и $a_7 = -8$.
Подставим значения в формулу, где $n=7$ и $m=3$:
$d = \frac{a_7 - a_3}{7-3} = \frac{-8 - (-2{,}3)}{4} = \frac{-8 + 2{,}3}{4} = \frac{-5{,}7}{4} = -1{,}425$.
Ответ: $-1{,}425$.

3) Даны $a_2 = -1{,}7$ и $a_8 = 7{,}6$.
Подставим значения в формулу, где $n=8$ и $m=2$:
$d = \frac{a_8 - a_2}{8-2} = \frac{7{,}6 - (-1{,}7)}{6} = \frac{7{,}6 + 1{,}7}{6} = \frac{9{,}3}{6} = 1{,}55$.
Ответ: $1{,}55$.

4) Даны $a_5 = 21{,}5$ и $a_7 = 6{,}8$.
Подставим значения в формулу, где $n=7$ и $m=5$:
$d = \frac{a_7 - a_5}{7-5} = \frac{6{,}8 - 21{,}5}{2} = \frac{-14{,}7}{2} = -7{,}35$.
Ответ: $-7{,}35$.

13.8. Является ли арифметической прогрессией последовательность ($a_n$), которая задана формулой:

1) $a_n = 2 - 0,3n;$

2) $a_n = 4 + 2n;$

3) $a_n = \frac{n-5}{8};$

4) $a_n = \frac{4-n}{5};$

5) $a_n = n \cdot (n + 4);$

6) $a_n = n \cdot (n^2 + 5)?$

Чтобы определить, является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Если разность постоянна, то последовательность является арифметической прогрессией, в противном случае — нет.
Это эквивалентно проверке, можно ли представить формулу $n$-го члена в виде линейной функции от $n$: $a_n = k \cdot n + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. В этом случае $k$ будет разностью прогрессии $d$.

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 2 - 0,3n$, найдем $(n+1)$-й член, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 2 - 0,3(n+1) = 2 - 0,3n - 0,3 = 1,7 - 0,3n$.
Теперь вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (1,7 - 0,3n) - (2 - 0,3n) = 1,7 - 0,3n - 2 + 0,3n = -0,3$.
Разность $d = -0,3$ является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

2) Для последовательности $a_n = 4 + 2n$ найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = 4 + 2(n+1) = 4 + 2n + 2 = 6 + 2n$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (6 + 2n) - (4 + 2n) = 6 + 2n - 4 - 2n = 2$.
Разность $d = 2$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

3) Для последовательности $a_n = \frac{n - 5}{8}$ найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = \frac{(n+1) - 5}{8} = \frac{n - 4}{8}$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{n - 4}{8} - \frac{n - 5}{8} = \frac{(n - 4) - (n - 5)}{8} = \frac{n - 4 - n + 5}{8} = \frac{1}{8}$.
Разность $d = \frac{1}{8}$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

4) Для последовательности $a_n = \frac{4 - n}{5}$ найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = \frac{4 - (n+1)}{5} = \frac{4 - n - 1}{5} = \frac{3 - n}{5}$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{3 - n}{5} - \frac{4 - n}{5} = \frac{(3 - n) - (4 - n)}{5} = \frac{3 - n - 4 + n}{5} = -\frac{1}{5}$.
Разность $d = -\frac{1}{5}$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

5) Для последовательности $a_n = n \cdot (n + 4)$ преобразуем формулу: $a_n = n^2 + 4n$. Найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = (n+1) \cdot ((n+1) + 4) = (n+1)(n+5) = n^2 + 5n + n + 5 = n^2 + 6n + 5$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (n^2 + 6n + 5) - (n^2 + 4n) = n^2 + 6n + 5 - n^2 - 4n = 2n + 5$.
Разность $d = 2n + 5$ зависит от $n$, поэтому она не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет.

6) Для последовательности $a_n = n \cdot (n^2 + 5)$ преобразуем формулу: $a_n = n^3 + 5n$. Найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = (n+1) \cdot ((n+1)^2 + 5) = (n+1)(n^2 + 2n + 1 + 5) = (n+1)(n^2 + 2n + 6)$.
$a_{n+1} = n^3 + 2n^2 + 6n + n^2 + 2n + 6 = n^3 + 3n^2 + 8n + 6$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (n^3 + 3n^2 + 8n + 6) - (n^3 + 5n) = n^3 + 3n^2 + 8n + 6 - n^3 - 5n = 3n^2 + 3n + 6$.
Разность $d = 3n^2 + 3n + 6$ зависит от $n$, поэтому она не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет.

32.6. В круг, длина радиуса которого равна 2 см, наугад брошена точка B. Найдите вероятность того, что эта точка не попадает в круг, находящийся внутри первого круга, длина радиуса которого равна 1 см.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — площади) благоприятствующей этому событию области к мере всей области, в которую может попасть точка.

1. Сначала найдем площадь большого круга, который представляет собой все возможные исходы. Радиус большого круга $R = 2$ см. Площадь $S_{общ}$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
$S_{общ} = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4\pi \text{ см}^2$.

2. Далее найдем площадь малого круга, попадание в который является неблагоприятным событием. Радиус малого круга $r = 1$ см. Площадь $S_{малый}$ равна:
$S_{малый} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$.

3. Благоприятным событием является непопадание точки в малый круг. Это означает, что точка должна попасть в область, которая представляет собой кольцо между большим и малым кругами. Площадь этой благоприятной области $S_{бл}$ равна разности площадей большого и малого кругов:
$S_{бл} = S_{общ} - S_{малый} = 4\pi - \pi = 3\pi \text{ см}^2$.

4. Теперь найдем искомую вероятность $P$ как отношение площади благоприятной области к общей площади:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{3\pi}{4\pi} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $0.75$ или $\frac{3}{4}$.

32.7. В шар, длина радиуса которого равна 3 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка попадает в шар, находящийся внутри первого шара, длина радиуса которого равна 2 см.

32.7.Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность попадания точки в некоторую область пространства равна отношению меры (в данном случае, объема) этой области к мере всего пространства, в которое может попасть точка.

В нашем случае, общее пространство - это большой шар, а благоприятное событие - это попадание точки в малый шар, который находится внутри большого.

Пусть $R$ - радиус большого шара, а $r$ - радиус малого шара.

По условию задачи:

$R = 3$ см

$r = 2$ см

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi x^3$, где $x$ - радиус шара.

Найдем объем большого шара ($V_{большого}$):

$V_{большого} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ см³.

Найдем объем малого шара ($V_{малого}$):

$V_{малого} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi$ см³.

Вероятность $P$ того, что точка попадет в малый шар, равна отношению объема малого шара к объему большого шара:

$P = \frac{V_{малого}}{V_{большого}} = \frac{\frac{32}{3}\pi}{36\pi}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{\frac{32}{3}}{36} = \frac{32}{3 \cdot 36} = \frac{32}{108}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$P = \frac{32 \div 4}{108 \div 4} = \frac{8}{27}$

Можно было решить проще, заметив, что отношение объемов шаров равно кубу отношения их радиусов:

$P = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3} = \left(\frac{r}{R}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

32.8. В шар, длина радиуса которого равна 3 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка не попадает в шар, находящийся внутри первого шара, длина радиуса которого равна 2 см.

Для решения этой задачи используется подход геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно брошенная точка окажется в некоторой области, равна отношению меры (в данном случае, объема) этой области к мере всей области, в которую бросается точка.

Пусть $R$ — это радиус большого шара, а $r$ — радиус малого шара. По условию задачи, $R = 3$ см и $r = 2$ см.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi \cdot (\text{радиус})^3$.

Найдем объемы большого ($V_R$) и малого ($V_r$) шаров:

$V_R = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$

$V_r = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi$

Нас интересует вероятность того, что точка B не попадет в малый шар. Это событие является противоположным событию "точка B попадает в малый шар". Удобнее сначала найти вероятность прямого события (попадания в малый шар), а затем вычесть ее из единицы.

Вероятность попадания точки в малый шар ($P_{внутр}$) равна отношению объема малого шара к объему большого шара:

$P_{внутр} = \frac{V_r}{V_R} = \frac{\frac{32}{3}\pi}{36\pi} = \frac{32}{3 \cdot 36} = \frac{32}{108}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$P_{внутр} = \frac{32 \div 4}{108 \div 4} = \frac{8}{27}$

Искомая вероятность того, что точка не попадет в малый шар ($P_{внеш}$), равна:

$P_{внеш} = 1 - P_{внутр} = 1 - \frac{8}{27} = \frac{27}{27} - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$

Ответ: $\frac{19}{27}$

32.9. На отрезке $AB$ длиной 12 см наугад ставят точку $M$. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке $AM$, будет заключена между площадями, равными $36 \text{ см}^2$ и $81 \text{ см}^2$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Пространством всех возможных элементарных исходов является отрезок AB.

Пусть отрезок AB лежит на числовой оси, причем точка A совпадает с началом координат (0), а точка B имеет координату 12. Тогда любая точка M, выбранная наугад на отрезке AB, будет иметь координату $x$, где $x$ — случайное число из отрезка $[0, 12]$. Длина этого отрезка (мера всего пространства исходов) равна $L = 12$ см.

Длина отрезка AM равна координате точки M, то есть $l_{AM} = x$. Площадь квадрата, построенного на отрезке AM, вычисляется по формуле $S = (l_{AM})^2 = x^2$.

Согласно условию, площадь этого квадрата должна быть заключена между 36 см² и 81 см². Запишем это в виде двойного неравенства:

$36 < S < 81$

Подставим выражение для площади:

$36 < x^2 < 81$

Так как $x$ представляет собой длину, то $x \ge 0$. Мы можем извлечь квадратный корень из всех частей неравенства:

$\sqrt{36} < \sqrt{x^2} < \sqrt{81}$

$6 < x < 9$

Это означает, что для выполнения условия задачи точка M должна попасть в интервал (6, 9). Этот интервал является подмножеством отрезка [0, 12] и представляет собой множество благоприятных исходов. Длина этого интервала (мера благоприятных исходов) равна $l = 9 - 6 = 3$ см.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины интервала благоприятных исходов к длине всего отрезка:

$P = \frac{l}{L} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

32.10.1)

Случайным образом выбирается целое число из промежутка [1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x + 6 < 0$.

2)

Случайным образом выбирается целое число из промежутка [1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

1)

Согласно условию, случайным образом выбирается целое число из промежутка $[1; 10]$. Множество всех возможных исходов состоит из целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Общее число элементарных исходов $N = 10$.

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что выбранное число является решением неравенства $x^2 - 5x + 6 < 0$. Найдем целые решения этого неравенства.

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции меньше нуля находятся между корнями. Таким образом, решением неравенства $x^2 - 5x + 6 < 0$ является интервал $(2; 3)$.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, которые попадают в интервал $(2; 3)$. В этом интервале нет ни одного целого числа.

Количество благоприятных исходов $m = 0$.

Вероятность события $P$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{N}$.

Подставляя наши значения, получаем: $P = \frac{0}{10} = 0$.

Ответ: 0.

2)

Как и в предыдущей задаче, общее число возможных исходов $N = 10$, так как мы выбираем одно из десяти целых чисел от 1 до 10.

Найдем количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это выбор такого целого числа из промежутка $[1; 10]$, которое является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

Решим это квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-1; 6]$.

Теперь определим, какие целые числа из исходного промежутка $[1; 10]$ попадают в отрезок $[-1; 6]$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Количество таких чисел, то есть число благоприятных исходов, равно $m = 6$.

Вероятность данного события равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,6.

32.11.1) В квадрат, длина стороны которого равна 1 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что расстояние от точки А до стороны квадрата не превосходит $ \frac{1}{3} $?

2) В квадрат, длина стороны которого равна 1 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что расстояние от точки А до центра квадрата не превосходит $ \frac{1}{3} $?

3) В квадрат, длина стороны которого равна 1 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что расстояние от точки А до указанной вершины квадрата не превосходит $ \frac{1}{4} $?

1) Эта задача решается с помощью геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной для события области к площади всей области, в которую бросается точка.
В данном случае, общая область — это квадрат со стороной 1 см. Его площадь $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$ см².
Благоприятным событием является попадание точки А в область, где расстояние от нее до ближайшей стороны квадрата не превышает $1/3$ см.
Рассмотрим квадрат в системе координат, занимающий область $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$. Расстояния от точки $A(x, y)$ до четырех сторон квадрата равны $x$, $1-x$, $y$ и $1-y$. Условие "расстояние от точки А до стороны квадрата не превосходит $1/3$" означает, что расстояние до ближайшей из сторон не больше $1/3$, то есть $\min(x, 1-x, y, 1-y) \le 1/3$.
Проще вычислить площадь неблагоприятной области, то есть множества точек, для которых это условие не выполняется. Это область, где расстояние до ближайшей стороны больше $1/3$: $\min(x, 1-x, y, 1-y) > 1/3$.
Это неравенство эквивалентно системе: $x > 1/3$, $1-x > 1/3$ (т.е. $x < 2/3$), $y > 1/3$ и $1-y > 1/3$ (т.е. $y < 2/3$).
Эти условия определяют внутренний квадрат со стороной $2/3 - 1/3 = 1/3$.
Площадь неблагоприятной области $S_{небл} = (1/3)^2 = 1/9$ см².
Благоприятная область — это "рамка" между границами большого квадрата и этим внутренним квадратом. Её площадь (закрашена на рисунке) равна разности общей и неблагоприятной площадей:
$S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 1 - 1/9 = 8/9$ см².

Искомая вероятность равна отношению благоприятной площади к общей:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{8/9}{1} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $8/9$.

2) Общая площадь, как и ранее, $S_{общ} = 1$ см².
Центр квадрата со стороной 1 находится на расстоянии $1/2$ от каждой стороны. Благоприятное событие — расстояние от точки А до центра квадрата не превосходит $1/3$.
Это условие описывает круг с центром в центре квадрата и радиусом $r = 1/3$. Поскольку радиус круга ($1/3$) меньше половины стороны квадрата ($1/2$), этот круг полностью находится внутри квадрата.
Следовательно, благоприятная область — это круг радиусом $1/3$ (закрашен на рисунке).
Площадь благоприятной области равна площади этого круга:
$S_{бл} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{\pi}{9}$ см².

Вероятность равна:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\pi/9}{1} = \frac{\pi}{9}$.
Ответ: $\pi/9$.

3) Общая площадь $S_{общ} = 1$ см².
Расположим квадрат в системе координат так, чтобы указанная вершина находилась в начале координат $(0,0)$, а сам квадрат занимал область $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$.
Благоприятное событие — расстояние от точки А до указанной вершины не превосходит $1/4$. Математически это условие для точки $A(x,y)$ записывается как $\sqrt{x^2 + y^2} \le 1/4$.
Это неравенство описывает круг с центром в указанной вершине и радиусом $r = 1/4$.
Так как точка А должна находиться внутри квадрата (в первом координатном квадранте относительно этой вершины), благоприятная область — это часть круга, которая принадлежит квадрату. Это сектор, составляющий четверть полного круга (закрашен на рисунке).
Площадь этой области равна:
$S_{бл} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{1}{16} = \frac{\pi}{64}$ см².

Вероятность равна:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\pi/64}{1} = \frac{\pi}{64}$.
Ответ: $\pi/64$.

32.12. На координатной плоскости построены две концентрические окружности, длины радиусов которых равны $5 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$.

Точка брошена наудачу в большой круг. Найдите вероятность того, что точка попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — площади) благоприятствующей этому событию области к мере всей области возможных исходов.

Изобразим наглядно условие задачи:

Обозначим радиус большей окружности как $R$ и радиус меньшей окружности как $r$. Согласно условию, $R = 10$ см и $r = 5$ см.

1. Найдём площадь большого круга. Это общая область, куда может быть брошена точка. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Площадь большого круга $S_{большого}$: $S_{большого} = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см$^2$.

2. Найдём площадь кольца. Кольцо — это область, попадание в которую является благоприятным исходом. Его площадь $S_{кольца}$ равна разности площадей большого и малого кругов. Сначала вычислим площадь малого круга $S_{малого}$: $S_{малого} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см$^2$. Теперь найдём площадь кольца: $S_{кольца} = S_{большого} - S_{малого} = 100\pi - 25\pi = 75\pi$ см$^2$.

3. Найдём вероятность. Вероятность $P$ попадания точки в кольцо равна отношению площади кольца к площади большого круга: $P = \frac{S_{кольца}}{S_{большого}} = \frac{75\pi}{100\pi}$.

Сокращаем $\pi$ и дробь $\frac{75}{100}$: $P = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 0,75$.

Ответ: 0,75.