Страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13.34. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^3 + x^3y^3 = 17 - y^3, \\ x + xy = 5 - y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 3 - 2y^2, \\ 5x^2 - 2xy = 5 + y^2. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + x^3y^3 = 17 - y^3 \\ x + xy = 5 - y \end{cases}$

Перепишем систему, перенеся все переменные в левую часть:

$\begin{cases} x^3 + y^3 + (xy)^3 = 17 \\ x + y + xy = 5 \end{cases}$

Эта система симметрична относительно $x$ и $y$. Введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.

Используем известную формулу для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = u^3 - 3uv$.

Подставим новые переменные в систему:

$\begin{cases} (u^3 - 3uv) + v^3 = 17 \\ u + v = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 5-v$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(5-v)^3 - 3(5-v)v + v^3 = 17$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(125 - 75v + 15v^2 - v^3) - (15v - 3v^2) + v^3 = 17$

$125 - 75v + 15v^2 - v^3 - 15v + 3v^2 + v^3 = 17$

Приведем подобные члены:

$(15v^2 + 3v^2) + (-75v - 15v) + 125 = 17$

$18v^2 - 90v + 125 = 17$

$18v^2 - 90v + 108 = 0$

Разделим обе части уравнения на 18:

$v^2 - 5v + 6 = 0$

Это квадратное уравнение, которое легко решается. По теореме Виета, его корни $v_1 = 2$ и $v_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого корня $v$:

Случай 1: $v = 2$.

Тогда $u = 5 - v = 5 - 2 = 3$.

Случай 2: $v = 3$.

Тогда $u = 5 - v = 5 - 3 = 2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы получили две системы уравнений:

Система A: $\begin{cases} x+y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Следовательно, решениями являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Система B: $\begin{cases} x+y = 2 \\ xy = 3 \end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t + 3 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходной системы являются только пары, полученные из системы А.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 3 - 2y^2 \\ 5x^2 - 2xy = 5 + y^2 \end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав однородные части в левой стороне:

$\begin{cases} x^2 + 3xy + 2y^2 = 3 \\ 5x^2 - 2xy - y^2 = 5 \end{cases}$

Это система с однородными левыми частями. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 5, а второе на 3:

$\begin{cases} 5(x^2 + 3xy + 2y^2) = 5 \cdot 3 \\ 3(5x^2 - 2xy - y^2) = 3 \cdot 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x^2 + 15xy + 10y^2 = 15 \\ 15x^2 - 6xy - 3y^2 = 15 \end{cases}$

Вычтем из первого уравнения второе:

$(5x^2 + 15xy + 10y^2) - (15x^2 - 6xy - 3y^2) = 15 - 15$

$-10x^2 + 21xy + 13y^2 = 0$

Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из полученного уравнения следует $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы (например, $0^2+3 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \neq 3$). Поэтому мы можем разделить уравнение на $y^2$:

$-10(\frac{x}{y})^2 + 21(\frac{x}{y}) + 13 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$-10t^2 + 21t + 13 = 0 \implies 10t^2 - 21t - 13 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-13) = 441 + 520 = 961 = 31^2$.

$t_1 = \frac{21 + 31}{20} = \frac{52}{20} = \frac{13}{5}$

$t_2 = \frac{21 - 31}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{13}{5}$, откуда $x = \frac{13}{5}y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $x^2 + 3xy + 2y^2 = 3$:

$(\frac{13}{5}y)^2 + 3(\frac{13}{5}y)y + 2y^2 = 3$

$\frac{169}{25}y^2 + \frac{39}{5}y^2 + 2y^2 = 3$

$\frac{169 + 195 + 50}{25}y^2 = 3 \implies \frac{414}{25}y^2 = 3 \implies y^2 = \frac{3 \cdot 25}{414} = \frac{25}{138}$

Отсюда $y = \pm \sqrt{\frac{25}{138}} = \pm \frac{5}{\sqrt{138}}$.

Если $y = \frac{5}{\sqrt{138}}$, то $x = \frac{13}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{138}} = \frac{13}{\sqrt{138}}$.

Если $y = -\frac{5}{\sqrt{138}}$, то $x = \frac{13}{5} \cdot (-\frac{5}{\sqrt{138}}) = -\frac{13}{\sqrt{138}}$.

Получаем две пары решений: $(\frac{13}{\sqrt{138}}, \frac{5}{\sqrt{138}})$ и $(-\frac{13}{\sqrt{138}}, -\frac{5}{\sqrt{138}})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $x = -\frac{1}{2}y$.

Подставим это выражение в первое уравнение $x^2 + 3xy + 2y^2 = 3$:

$(-\frac{1}{2}y)^2 + 3(-\frac{1}{2}y)y + 2y^2 = 3$

$\frac{1}{4}y^2 - \frac{3}{2}y^2 + 2y^2 = 3$

$\frac{1 - 6 + 8}{4}y^2 = 3 \implies \frac{3}{4}y^2 = 3 \implies y^2 = 4$

Отсюда $y = \pm 2$.

Если $y=2$, то $x = -\frac{1}{2}(2) = -1$.

Если $y=-2$, то $x = -\frac{1}{2}(-2) = 1$.

Получаем еще две пары решений: $(-1, 2)$ и $(1, -2)$.

Ответ: $(-1, 2), (1, -2), (\frac{13}{\sqrt{138}}, \frac{5}{\sqrt{138}}), (-\frac{13}{\sqrt{138}}, -\frac{5}{\sqrt{138}})$.

13.35. Является ли последовательность арифметической прогрессией? Найдите значение суммы первых четырех членов последовательности:

1) $2; 7; 12; 17; 22; 27;$

2) $-200; -100; -50; -25; -12,5;$

3) $4; 20; 100; 500; 2500;$

4) $-11; -1; 9; 19; 29.$

1) Последовательность: 2; 7; 12; 17; 22; 27;
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой разность между каждым последующим и предыдущим членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии ($d$).
Проверим, является ли данная последовательность арифметической прогрессией:
$a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$
$a_3 - a_2 = 12 - 7 = 5$
$a_4 - a_3 = 17 - 12 = 5$
Разность постоянна и равна 5, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Найдем сумму первых четырех членов ($S_4$):
$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2 + 7 + 12 + 17 = 38$.
Ответ: Да, является арифметической прогрессией. Сумма первых четырех членов равна 38.

2) Последовательность: –200; –100; –50; –25; –12,5;
Проверим, является ли данная последовательность арифметической прогрессией:
$a_2 - a_1 = -100 - (-200) = 100$
$a_3 - a_2 = -50 - (-100) = 50$
Так как разности $100$ и $50$ не равны, последовательность не является арифметической прогрессией. (Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=0.5$).
Найдем сумму первых четырех членов последовательности:
$S_4 = -200 + (-100) + (-50) + (-25) = -375$.
Ответ: Нет, не является арифметической прогрессией. Сумма первых четырех членов равна -375.

3) Последовательность: 4; 20; 100; 500; 2500;
Проверим, является ли данная последовательность арифметической прогрессией:
$a_2 - a_1 = 20 - 4 = 16$
$a_3 - a_2 = 100 - 20 = 80$
Так как разности $16$ и $80$ не равны, последовательность не является арифметической прогрессией. (Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=5$).
Найдем сумму первых четырех членов последовательности:
$S_4 = 4 + 20 + 100 + 500 = 624$.
Ответ: Нет, не является арифметической прогрессией. Сумма первых четырех членов равна 624.

4) Последовательность: –11; –1; 9; 19; 29.
Проверим, является ли данная последовательность арифметической прогрессией:
$a_2 - a_1 = -1 - (-11) = 10$
$a_3 - a_2 = 9 - (-1) = 10$
$a_4 - a_3 = 19 - 9 = 10$
Разность постоянна и равна 10, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Найдем сумму первых четырех членов ($S_4$):
$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -11 + (-1) + 9 + 19 = -12 + 28 = 16$.
Ответ: Да, является арифметической прогрессией. Сумма первых четырех членов равна 16.

13.36. Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 2n - 5$. Найдите значение суммы ее первых пяти членов.

Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена: $a_n = 2n - 5$.

Для нахождения суммы первых пяти членов ($S_5$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данном случае $n = 5$, поэтому формула примет вид:
$S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5$

Сначала необходимо найти первый ($a_1$) и пятый ($a_5$) члены прогрессии, используя заданную формулу $a_n = 2n - 5$.

Найдем первый член ($a_1$), подставив $n=1$:
$a_1 = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$

Найдем пятый член ($a_5$), подставив $n=5$:
$a_5 = 2 \cdot 5 - 5 = 10 - 5 = 5$

Теперь подставим найденные значения $a_1 = -3$ и $a_5 = 5$ в формулу для суммы $S_5$:
$S_5 = \frac{-3 + 5}{2} \cdot 5 = \frac{2}{2} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$

Ответ: 5

1. Найдите значение выражения:

1) $ \cos60^\circ - \sin60^\circ + \operatorname{ctg}60^\circ - \operatorname{tg}60^\circ; $

2) $ -\sin30^\circ + \cos30^\circ - \operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{tg}30^\circ; $

3) $ \cos45^\circ - \operatorname{tg}45^\circ - \sin45^\circ + \operatorname{ctg}45^\circ; $

4) $ \sin0^\circ - \cos30^\circ + \operatorname{tg}45^\circ - \operatorname{ctg}60^\circ; $

5) $ -\cos0^\circ + \operatorname{tg}30^\circ - \operatorname{ctg}45^\circ + \sin60^\circ; $

6) $ \operatorname{tg}0^\circ - \operatorname{ctg}90^\circ - \sin0^\circ - \cos90^\circ. $

1) $cos60^\circ - sin60^\circ + ctg60^\circ - tg60^\circ$
Для решения подставим известные значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$
$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$tg60^\circ = \sqrt{3}$
Подставляем эти значения в исходное выражение:
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$
Сгруппируем слагаемые:
$\frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} + (\frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2} - \frac{7\sqrt{3}}{6}$
Теперь приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{6} - \frac{7\sqrt{3}}{6} = \frac{3 - 7\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{3 - 7\sqrt{3}}{6}$

2) $-sin30^\circ + cos30^\circ - ctg30^\circ + tg30^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций для угла $30^\circ$:
$sin30^\circ = \frac{1}{2}$
$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg30^\circ = \sqrt{3}$
$tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Подставляем эти значения в выражение:
$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
Сгруппируем слагаемые:
$-\frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$-\frac{1}{2} + (\frac{3\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6}) = -\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
Приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$-\frac{3}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 - \sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{3}}{6}$

3) $cos45^\circ - tg45^\circ - sin45^\circ + ctg45^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$:
$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$tg45^\circ = 1$
$sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$ctg45^\circ = 1$
Подставляем эти значения в выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
Сгруппируем слагаемые:
$(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-1 + 1) = 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

4) $sin0^\circ - cos30^\circ + tg45^\circ - ctg60^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$sin0^\circ = 0$
$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg45^\circ = 1$
$ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Подставляем эти значения в выражение:
$0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$
Приведем дроби с $\sqrt{3}$ к общему знаменателю 6:
$1 - (\frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6}) = 1 - \frac{5\sqrt{3}}{6}$
Приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$\frac{6}{6} - \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{6 - 5\sqrt{3}}{6}$

5) $-cos0^\circ + tg30^\circ - ctg45^\circ + sin60^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$cos0^\circ = 1$
$tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$ctg45^\circ = 1$
$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем эти значения в выражение:
$-1 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
Сгруппируем слагаемые:
$(-1 - 1) + (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + (\frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6})$
$-2 + \frac{5\sqrt{3}}{6}$
Приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$-\frac{12}{6} + \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{-12 + 5\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{-12 + 5\sqrt{3}}{6}$

6) $tg0^\circ - ctg90^\circ - sin0^\circ - cos90^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$tg0^\circ = 0$
$ctg90^\circ = 0$
$sin0^\circ = 0$
$cos90^\circ = 0$
Подставляем эти значения в выражение:
$0 - 0 - 0 - 0 = 0$
Ответ: $0$

2. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{\pi}{6} - 4 \cos \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - 5 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3};$

2) $\cos \frac{\pi}{2} + 9 \sin \frac{\pi}{2} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} - 7 \operatorname{tg} 0^{\circ};$

3) $\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} - 11 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4};$

4) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} - 5 \sin \frac{\pi}{3} + 6 \cos \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}.$

1) $ \sin\frac{\pi}{6} - 4 \cos\frac{\pi}{6} + \tg\frac{\pi}{6} - 5 \ctg\frac{\pi}{3} $

Для решения этого выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для стандартных углов. В данном случае это $ \frac{\pi}{6} $ (30°) и $ \frac{\pi}{3} $ (60°).

Значения функций:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $

Выполним умножение и упростим:

$ \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} $

Приведем слагаемые, содержащие $ \sqrt{3} $, к общему знаменателю 3:

$ \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3} $.

2) $ \cos\frac{\pi}{2} + 9 \sin\frac{\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4} - 7\tg0^\circ $

Для решения нам понадобятся следующие табличные значения:

$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $

$ \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

$ \tg0^\circ = 0 $

Подставим эти значения в выражение:

$ 0 + 9 \cdot 1 - 1 - 7 \cdot 0 $

Выполним арифметические действия:

$ 9 - 1 = 8 $

Ответ: 8.

3) $ \sqrt{3} \cos\frac{\pi}{6} + 2\ctg\frac{\pi}{3} - 11 \ctg\frac{\pi}{4} $

Найдем значения необходимых тригонометрических функций:

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

Подставим значения в выражение:

$ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 11 \cdot 1 $

Упростим выражение:

$ \frac{3}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} - 11 $

Вычтем целые числа:

$ \frac{3}{2} - \frac{22}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{19}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ -\frac{19}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

4) $ \ctg\frac{\pi}{2} - 5 \sin\frac{\pi}{3} + 6\cos\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{6} $

Найдем значения необходимых тригонометрических функций:

$ \ctg\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ 0 - 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} $

Упростим выражение:

$ -\frac{5\sqrt{3}}{2} + 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} $

Сгруппируем слагаемые и приведем дроби с $ \sqrt{3} $ к общему знаменателю 6:

$ 3 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 3 - \left(\frac{3 \cdot 5\sqrt{3}}{6} + \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \left(\frac{15\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \frac{17\sqrt{3}}{6} $

Ответ: $ 3 - \frac{17\sqrt{3}}{6} $.

3. Вычислите:

1)

$\frac{\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ}{\sin\frac{\pi}{6} + \cos 60^\circ}$;

2)

$\frac{\sqrt{3} \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ + \sqrt{2} \cdot \sin\frac{\pi}{4}}{2 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ - \cos 0^\circ}$;

3)

$\frac{\operatorname{tg} 30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \operatorname{ctg} 45^\circ}$;

4)

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}{5 \cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}}$;

5)

$6\cos 40^\circ - 8\cos^3 40^\circ$;

6)

$\frac{4\sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ}$.

1) Для вычисления выражения $\frac{\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \cdot \tg 60^\circ}{\sin\frac{\pi}{6} + \cos 60^\circ}$ подставим табличные значения тригонометрических функций. Учитываем, что угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.
Нам понадобятся следующие значения:
$\cos\frac{\pi}{6} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tg 60^\circ = \sqrt{3}$
$\sin\frac{\pi}{6} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
Подставляем эти значения в исходное выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 3}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{6}{2} = \frac{\sqrt{3} - 6}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 6}{2}$.

2) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{3} \cdot \text{ctg} 30^\circ + \sqrt{2} \cdot \sin\frac{\pi}{4}}{2 \cdot \tg 45^\circ - \cos 0^\circ}$ подставим табличные значения. Учитываем, что $\frac{\pi}{4}$ радиан равно $45^\circ$.
Значения функций:
$\text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$
$\sin\frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tg 45^\circ = 1$
$\cos 0^\circ = 1$
Подставляем в выражение:
$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{3 + \frac{2}{2}}{2 - 1} = \frac{3 + 1}{1} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: $4$.

3) Для вычисления выражения $\frac{\tg 30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \text{ctg} 45^\circ}$ подставим табличные значения. Учитываем, что $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ и $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$.
Значения функций:
$\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{2} = \sin 90^\circ = 1$
$\text{ctg} 45^\circ = 1$
Подставляем в выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - 4 \cdot 1} = \frac{\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}}{1 - 4} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{-3} = -\frac{5\sqrt{3}}{6 \cdot 3} = -\frac{5\sqrt{3}}{18}$.
Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{18}$.

4) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}{5 \cdot \tg\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4}}$ подставим табличные значения. Учитываем, что $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$.
Значения функций:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tg\frac{\pi}{4} = \tg 45^\circ = 1$
$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = \text{ctg} 45^\circ = 1$
Подставляем в выражение:
$\frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{5 \cdot 1 - 4 \cdot 1} = \frac{\frac{2}{2} + \frac{2}{2}}{5 - 4} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: $2$.

5) Рассмотрим выражение $6\cos 40^\circ - 8\cos^3 40^\circ$.
Вынесем за скобки общий множитель $-2$:
$6\cos 40^\circ - 8\cos^3 40^\circ = -2(4\cos^3 40^\circ - 3\cos 40^\circ)$.
Выражение в скобках является формулой косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
Применим эту формулу для $\alpha = 40^\circ$:
$4\cos^3 40^\circ - 3\cos 40^\circ = \cos(3 \cdot 40^\circ) = \cos(120^\circ)$.
Значение косинуса $120^\circ$ равно $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:
$-2 \cdot \cos(120^\circ) = -2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.
Ответ: $1$.

6) Рассмотрим выражение $\frac{4\sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ}$.
Для упрощения числителя воспользуемся формулой приведения и формулой синуса двойного угла.
По формуле приведения: $\sin 65^\circ = \sin(90^\circ - 25^\circ) = \cos 25^\circ$.
Тогда числитель $4\sin 25^\circ \sin 65^\circ$ становится $4\sin 25^\circ \cos 25^\circ$.
Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$4\sin 25^\circ \cos 25^\circ = 2 \cdot (2\sin 25^\circ \cos 25^\circ) = 2\sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin 50^\circ$.
Подставим полученное выражение в дробь: $\frac{2\sin 50^\circ}{\cos 40^\circ}$.
Снова применим формулу приведения для числителя: $\sin 50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ$.
В итоге получаем: $\frac{2\cos 40^\circ}{\cos 40^\circ} = 2$.
Ответ: $2$.

4. Найдите:

1) $cos\\alpha$, $sin2\\alpha$, $cos2\\alpha$, если $sin\\alpha = 0,7$ и $0^{\\circ} < \\alpha < 90^{\\circ}$;

2) $sin\\alpha$, $ctg\\alpha$, $tg2\\alpha$, если $cos\\alpha = 0,6$ и $270^{\\circ} < \\alpha < 360^{\\circ}$;

3) $cos\\alpha$, $sin\\alpha$, $cos2\\alpha$, если $tg\\alpha = 5$ и $180^{\\circ} < \\alpha < 270^{\\circ}$.

1) cosa, sin2a, cos2a, если sina = 0,7 и 0° < a < 90°

Нам дано, что $ \sin a = 0,7 $ и угол $ a $ находится в первой четверти ($ 0° < a < 90° $). В этой четверти все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

1. Найдем $ \cos a $. Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $. Отсюда $ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a $. Подставляем известное значение $ \sin a $: $ \cos^2 a = 1 - (0,7)^2 = 1 - 0,49 = 0,51 $. Так как угол $ a $ в первой четверти, $ \cos a $ положителен: $ \cos a = \sqrt{0,51} $.

2. Найдем $ \sin 2a $. Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $. Подставляем известные значения $ \sin a $ и $ \cos a $: $ \sin 2a = 2 \cdot 0,7 \cdot \sqrt{0,51} = 1,4\sqrt{0,51} $.

3. Найдем $ \cos 2a $. Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a $. Подставляем известное значение $ \sin a $: $ \cos 2a = 1 - 2 \cdot (0,7)^2 = 1 - 2 \cdot 0,49 = 1 - 0,98 = 0,02 $.

Ответ: $ \cos a = \sqrt{0,51} $, $ \sin 2a = 1,4\sqrt{0,51} $, $ \cos 2a = 0,02 $.

2) sina, ctga, tg2a, если cosa = 0,6 и 270° < a < 360°

Нам дано, что $ \cos a = 0,6 $ и угол $ a $ находится в четвертой четверти ($ 270° < a < 360° $). В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс/котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \sin a $. Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $. $ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $. Так как угол $ a $ в четвертой четверти, $ \sin a $ отрицателен: $ \sin a = -\sqrt{0,64} = -0,8 $.

2. Найдем $ \operatorname{ctg} a $. Используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a} $. $ \operatorname{ctg} a = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75 $.

3. Найдем $ \operatorname{tg} 2a $. Сначала найдем $ \operatorname{tg} a $. $ \operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $. Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $ \operatorname{tg} 2a = \frac{2 \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a} $. $ \operatorname{tg} 2a = \frac{2 \cdot (-\frac{4}{3})}{1 - (-\frac{4}{3})^2} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{8 \cdot 3}{7} = \frac{24}{7} $.

Ответ: $ \sin a = -0,8 $, $ \operatorname{ctg} a = -0,75 $, $ \operatorname{tg} 2a = \frac{24}{7} $.

3) cosa, sina, cos2a, если tga = 5 и 180° < a < 270°

Нам дано, что $ \operatorname{tg} a = 5 $ и угол $ a $ находится в третьей четверти ($ 180° < a < 270° $). В этой четверти тангенс положителен, а синус и косинус отрицательны.

1. Найдем $ \cos a $. Используем тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} $. $ \cos^2 a = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 a} = \frac{1}{1 + 5^2} = \frac{1}{1 + 25} = \frac{1}{26} $. Так как угол $ a $ в третьей четверти, $ \cos a $ отрицателен: $ \cos a = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.

2. Найдем $ \sin a $. Используем определение тангенса: $ \sin a = \operatorname{tg} a \cdot \cos a $. $ \sin a = 5 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{26}}) = -\frac{5}{\sqrt{26}} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $. Знак синуса отрицателен, что соответствует третьей четверти.

3. Найдем $ \cos 2a $. Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $ \cos 2a = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 a}{1 + \operatorname{tg}^2 a} $. $ \cos 2a = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = \frac{1 - 25}{1 + 25} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13} $.

Ответ: $ \cos a = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \sin a = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \cos 2a = -\frac{12}{13} $.

5. Вычислите:

1) $sin2a$, $cos4a$, $ctg4a$, если $sina = \frac{1}{3}$ и $0^{\circ} < a < 90^{\circ}$;

2) $cos2a$, $tg2a$, $sin4a$, если $cosa = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $180^{\circ} < a < 270^{\circ}$.

1) Дано: $sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти, $cos\alpha$ будет положительным. Найдем его значение из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
$cos\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь вычислим требуемые значения.

Вычисление sin2α:
Используем формулу синуса двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.
$sin2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Вычисление cos4α:
Сначала найдем $cos2\alpha$. Используем формулу косинуса двойного угла $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$, так как $sin\alpha$ дан в условии.
$cos2\alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Теперь найдем $cos4\alpha$, используя формулу косинуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $cos4\alpha = 2cos^2(2\alpha) - 1$.
$cos4\alpha = 2 \cdot (\frac{7}{9})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{81} - 1 = \frac{98}{81} - \frac{81}{81} = \frac{17}{81}$.

Вычисление ctg4α:
Для нахождения $ctg4\alpha = \frac{cos4\alpha}{sin4\alpha}$, нам необходимо вычислить $sin4\alpha$.
Используем формулу синуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $sin4\alpha = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.
Мы уже вычислили $sin2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$ и $cos2\alpha = \frac{7}{9}$.
$sin4\alpha = 2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56\sqrt{2}}{81}$.
Теперь можем вычислить котангенс:
$ctg4\alpha = \frac{cos4\alpha}{sin4\alpha} = \frac{\frac{17}{81}}{\frac{56\sqrt{2}}{81}} = \frac{17}{56\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$ctg4\alpha = \frac{17 \cdot \sqrt{2}}{56\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{56 \cdot 2} = \frac{17\sqrt{2}}{112}$.

Ответ: $sin2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$, $cos4\alpha = \frac{17}{81}$, $ctg4\alpha = \frac{17\sqrt{2}}{112}$.

2) Дано: $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $sin\alpha$ будет отрицательным. Найдем его значение из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
$sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.

Теперь вычислим требуемые значения.

Вычисление cos2α:
Используем формулу косинуса двойного угла $cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$, так как $cos\alpha$ дан в условии.
$cos2\alpha = 2 \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{8}{9} - 1 = \frac{16}{9} - \frac{9}{9} = \frac{7}{9}$.

Вычисление tg2α:
Для нахождения $tg2\alpha = \frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}$, нам необходимо вычислить $sin2\alpha$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.
$sin2\alpha = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.
Теперь можем вычислить тангенс:
$tg2\alpha = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.

Вычисление sin4α:
Используем формулу синуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $sin4\alpha = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.
Мы уже вычислили $sin2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$ и $cos2\alpha = \frac{7}{9}$.
$sin4\alpha = 2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56\sqrt{2}}{81}$.

Ответ: $cos2\alpha = \frac{7}{9}$, $tg2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{7}$, $sin4\alpha = \frac{56\sqrt{2}}{81}$.