Страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.16. Найдите значение суммы всех двузначных чисел, кратных:

1) 3;

2) 7.

1) Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 3.
Двузначные числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию.
Первый член этой прогрессии, который является двузначным числом, это $a_1 = 12$.
Последний член этой прогрессии, который является двузначным числом, это $a_n = 99$.
Разность прогрессии $d = 3$.
Найдем количество членов в этой прогрессии по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$99 = 12 + (n-1) \cdot 3$
$87 = (n-1) \cdot 3$
$n-1 = 87 / 3$
$n-1 = 29$
$n = 30$
Теперь найдем сумму этих 30 чисел по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{30} = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.
Ответ: 1665

2) Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
Двузначные числа, кратные 7, также образуют арифметическую прогрессию.
Первый двузначный член этой прогрессии $a_1 = 14$.
Последний двузначный член этой прогрессии $a_n = 98$.
Разность прогрессии $d = 7$.
Найдем количество членов в этой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$98 = 14 + (n-1) \cdot 7$
$84 = (n-1) \cdot 7$
$n-1 = 84 / 7$
$n-1 = 12$
$n = 13$
Теперь найдем сумму этих 13 чисел по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \cdot 13 = \frac{112}{2} \cdot 13 = 56 \cdot 13 = 728$.
Ответ: 728

14.17. Найдите значение суммы всех двузначных чисел, которые при делении на:

1) 5 дают остаток 1;

2) 9 дают остаток 4.

1)

Нам нужно найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1, можно записать в виде $5k + 1$, где $k$ — целое число.

Найдем первое двузначное число, удовлетворяющее этому условию. Оно должно быть не меньше 10. $5k + 1 \ge 10 \implies 5k \ge 9 \implies k \ge 1.8$. Поскольку $k$ — целое, наименьшее значение $k=2$. Первый член последовательности: $a_1 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$.

Найдем последнее двузначное число, удовлетворяющее этому условию. Оно должно быть не больше 99. $5k + 1 \le 99 \implies 5k \le 98 \implies k \le 19.6$. Наибольшее целое значение $k=19$. Последний член последовательности: $a_n = 5 \cdot 19 + 1 = 96$.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 11$, последний член $a_n = 96$, и разность прогрессии $d=5$. Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$96 = 11 + (n-1) \cdot 5$
$85 = (n-1) \cdot 5$
$n-1 = 17$
$n = 18$

Сумму арифметической прогрессии найдем по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{18} = \frac{11 + 96}{2} \cdot 18 = \frac{107}{2} \cdot 18 = 107 \cdot 9 = 963$.

Ответ: 963.

2)

Нам нужно найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4. Эти числа можно записать в виде $9k + 4$, где $k$ — целое число.

Найдем первое такое двузначное число ($ \ge 10$):
$9k + 4 \ge 10 \implies 9k \ge 6 \implies k \ge \frac{6}{9}$. Наименьшее целое значение $k=1$. Первый член последовательности: $a_1 = 9 \cdot 1 + 4 = 13$.

Найдем последнее такое двузначное число ($ \le 99$):
$9k + 4 \le 99 \implies 9k \le 95 \implies k \le \frac{95}{9} \approx 10.55$. Наибольшее целое значение $k=10$. Последний член последовательности: $a_n = 9 \cdot 10 + 4 = 94$.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 13$, последний член $a_n = 94$, и разность прогрессии $d=9$. Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$94 = 13 + (n-1) \cdot 9$
$81 = (n-1) \cdot 9$
$n-1 = 9$
$n = 10$

Сумму арифметической прогрессии найдем по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{10} = \frac{13 + 94}{2} \cdot 10 = \frac{107}{2} \cdot 10 = 107 \cdot 5 = 535$.

Ответ: 535.

14.18. Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, кратных:

1) 8;

2) 13.

1) Найдем сумму всех трехзначных чисел, кратных 8.

Все трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 8$.

Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Это наименьшее трехзначное число, делящееся на 8. Разделим 100 на 8: $100 = 8 \times 12 + 4$. Следовательно, наименьшее трехзначное число, кратное 8, равно $8 \times (12+1) = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее трехзначное число, делящееся на 8. Разделим 999 на 8: $999 = 8 \times 124 + 7$. Следовательно, наибольшее трехзначное число, кратное 8, равно $8 \times 124 = 992$. Итак, $a_n = 992$.

Чтобы найти сумму, сначала определим количество членов в прогрессии ($n$) по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$

$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$

$888 = (n-1) \cdot 8$

$n-1 = \frac{888}{8} = 111$

$n = 111 + 1 = 112$

Теперь вычислим сумму $S_n$ всех этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$:

$S_{112} = \frac{104+992}{2} \cdot 112 = \frac{1096}{2} \cdot 112 = 548 \cdot 112 = 61376$.

Ответ: 61376

2) Найдем сумму всех трехзначных чисел, кратных 13.

Эти числа также образуют арифметическую прогрессию, но с разностью $d=13$.

Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Разделим 100 на 13: $100 = 13 \times 7 + 9$. Значит, наименьшее трехзначное число, кратное 13, равно $13 \times (7+1) = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Разделим 999 на 13: $999 = 13 \times 76 + 11$. Значит, наибольшее трехзначное число, кратное 13, равно $13 \times 76 = 988$. Итак, $a_n = 988$.

Найдем количество членов прогрессии ($n$):

$988 = 104 + (n-1) \cdot 13$

$988 - 104 = (n-1) \cdot 13$

$884 = (n-1) \cdot 13$

$n-1 = \frac{884}{13} = 68$

$n = 68 + 1 = 69$

Вычислим сумму $S_n$ по формуле:

$S_{69} = \frac{104+988}{2} \cdot 69 = \frac{1092}{2} \cdot 69 = 546 \cdot 69 = 37674$.

Ответ: 37674

14.19. Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, которые при делении на:

1) 5 дают остаток 3;

2) 25 дают остаток 11.

1)

Все трехзначные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 3, образуют арифметическую прогрессию. Такие числа можно представить формулой $a_k = 5k + 3$, где $k$ — целое число.

Найдем первый и последний члены этой прогрессии, которые являются трехзначными числами (то есть, находятся в диапазоне от 100 до 999).

Для нахождения первого члена $a_1$ решим неравенство $5k + 3 \ge 100$. Это дает $5k \ge 97$, или $k \ge 19.4$. Так как $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k=20$. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = 5 \cdot 20 + 3 = 103$.

Для нахождения последнего члена $a_n$ решим неравенство $5k + 3 \le 999$. Это дает $5k \le 996$, или $k \le 199.2$. Наибольшее подходящее целое значение $k=199$. Следовательно, последний член прогрессии $a_n = 5 \cdot 199 + 3 = 998$.

Разность этой арифметической прогрессии $d=5$. Количество членов $n$ можно найти из диапазона значений $k$: $n = 199 - 20 + 1 = 180$. Или по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$, откуда $998 = 103 + (n-1) \cdot 5$, что приводит к $895 = 5(n-1)$, $n-1 = 179$ и $n=180$.

Сумму $S_n$ этой прогрессии вычислим по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{180} = \frac{103 + 998}{2} \cdot 180 = 1101 \cdot 90 = 99090$.

Ответ: 99090

2)

Аналогично, все трехзначные числа, которые при делении на 25 дают в остатке 11, образуют арифметическую прогрессию. Общий член такой прогрессии $b_k = 25k + 11$.

Найдем первый и последний трехзначные члены этой прогрессии.

Для первого члена $b_1$: решим неравенство $25k + 11 \ge 100$. Получаем $25k \ge 89$, или $k \ge 3.56$. Наименьшее целое $k=4$, значит, первый член $b_1 = 25 \cdot 4 + 11 = 111$.

Для последнего члена $b_n$: решим неравенство $25k + 11 \le 999$. Получаем $25k \le 988$, или $k \le 39.52$. Наибольшее целое $k=39$, значит, последний член $b_n = 25 \cdot 39 + 11 = 975 + 11 = 986$.

Разность прогрессии $d=25$. Количество членов $n$ найдем из диапазона $k$: $n = 39 - 4 + 1 = 36$.

Сумму $S_n$ этой прогрессии вычислим по формуле $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$: $S_{36} = \frac{111 + 986}{2} \cdot 36 = 1097 \cdot 18 = 19746$.

Ответ: 19746

14.20. Найдите наибольшее из возможных значений сумм $n$ первых членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 137, a_2 = 121$.

Чтобы найти наибольшее из возможных значений суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии, необходимо сначала определить её параметры.

1. Нахождение разности прогрессии

Даны первый и второй члены арифметической прогрессии: $a_1 = 137$ и $a_2 = 121$.Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между любым её членом и предыдущим.$d = a_2 - a_1 = 121 - 137 = -16$.

2. Определение количества членов для максимальной суммы

Поскольку разность прогрессии $d = -16$ отрицательна, прогрессия является убывающей. Сумма её членов будет увеличиваться до тех пор, пока мы складываем положительные члены. Как только члены прогрессии станут отрицательными, их добавление к сумме начнет её уменьшать. Таким образом, для получения наибольшей суммы нужно сложить все неотрицательные члены прогрессии.

Найдем номер $n$ последнего неотрицательного члена прогрессии, решив неравенство $a_n \ge 0$.Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим наши значения:$137 + (n-1)(-16) \ge 0$$137 - 16n + 16 \ge 0$$153 - 16n \ge 0$$153 \ge 16n$$n \le \frac{153}{16}$$n \le 9.5625$

Так как $n$ должно быть целым числом, наибольшее количество членов, которые являются неотрицательными, равно $9$. Следовательно, наибольшая сумма будет суммой первых $9$ членов прогрессии ($S_9$).

3. Вычисление наибольшей суммы

Для расчета суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.Подставим $n=9$, $a_1=137$ и $d=-16$:$S_9 = \frac{2 \cdot 137 + (9-1)(-16)}{2} \cdot 9$$S_9 = \frac{274 + 8 \cdot (-16)}{2} \cdot 9$$S_9 = \frac{274 - 128}{2} \cdot 9$$S_9 = \frac{146}{2} \cdot 9$$S_9 = 73 \cdot 9$$S_9 = 657$

Ответ: 657.

14.21. В арифметической прогрессии ($a_n$) вычислите значение суммы:

1) $a_7^2 + 2a_7 a_5 + a_5^2 - (a_8 + a_4)^2$;

2) $4a_9^2 - 4a_1 a_9 + a_1^2 - a_{17}^2$.

1) Преобразуем данное выражение $a_7^2 + 2a_7a_5 + a_5^2 - (a_8 + a_4)^2$.
Первые три слагаемых представляют собой формулу полного квадрата суммы: $a_7^2 + 2a_7a_5 + a_5^2 = (a_7 + a_5)^2$.
Таким образом, всё выражение можно переписать в виде: $(a_7 + a_5)^2 - (a_8 + a_4)^2$.
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии, которое гласит, что $a_k + a_l = a_m + a_n$, если $k+l = m+n$.
В нашем случае, суммы индексов у членов прогрессии равны: $7+5 = 12$ и $8+4 = 12$.
Следовательно, суммы членов также равны: $a_7 + a_5 = a_8 + a_4$.
Поскольку $a_7 + a_5$ и $a_8 + a_4$ равны, то разность их квадратов равна нулю.
$(a_7 + a_5)^2 - (a_8 + a_4)^2 = 0$.
Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение $4a_9^2 - 4a_1a_9 + a_1^2 - a_{17}^2$.
Первые три члена образуют полный квадрат разности: $4a_9^2 - 4a_1a_9 + a_1^2 = (2a_9 - a_1)^2$.
После преобразования выражение принимает вид: $(2a_9 - a_1)^2 - a_{17}^2$.
Используем характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой член прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$, или $2a_n = a_{n-k} + a_{n+k}$.
Для члена $a_9$ и членов $a_1$ и $a_{17}$ это свойство выполняется, так как $a_9$ находится ровно посередине между ними ($9-1 = 8$ и $17-9=8$). Таким образом, при $n=9$ и $k=8$ мы получаем: $2a_9 = a_{9-8} + a_{9+8} = a_1 + a_{17}$.
Подставим полученное равенство в наше выражение:
$(2a_9 - a_1)^2 - a_{17}^2 = ((a_1 + a_{17}) - a_1)^2 - a_{17}^2 = (a_{17})^2 - a_{17}^2 = a_{17}^2 - a_{17}^2 = 0$.
Ответ: 0

14.22. 1) Значение суммы первого, четвертого и тринадцатого членов арифметической прогрессии равно 23. Найдите $a_6$ и $S_{11}$.

2) Значение суммы первого, шестого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равно 63. Найдите $a_{10}$ и $S_{19}$.

1)

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, сумма первого, четвертого и тринадцатого членов равна 23:

$a_1 + a_4 + a_{13} = 23$

Выразим $a_4$ и $a_{13}$ через $a_1$ и $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 12d) = 23$

Упростим полученное выражение:

$3a_1 + 15d = 23$

Вынесем 3 за скобки:

$3(a_1 + 5d) = 23$

Заметим, что выражение в скобках равно шестому члену прогрессии: $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.

Таким образом, мы получаем:

$3a_6 = 23$

$a_6 = \frac{23}{3}$

Теперь найдем сумму первых одиннадцати членов прогрессии, $S_{11}$. Воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{11} = \frac{2a_1 + (11-1)d}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11$

Вынесем 2 из числителя в скобках:

$S_{11} = \frac{2(a_1 + 5d)}{2} \cdot 11 = (a_1 + 5d) \cdot 11$

Поскольку $a_1 + 5d = a_6$, то:

$S_{11} = a_6 \cdot 11 = \frac{23}{3} \cdot 11 = \frac{253}{3}$

Ответ: $a_6 = \frac{23}{3}$, $S_{11} = \frac{253}{3}$.

2)

По условию, сумма первого, шестого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна 63:

$a_1 + a_6 + a_{14} = 63$

Выразим $a_6$ и $a_{14}$ через $a_1$ и разность прогрессии $d$:

$a_6 = a_1 + 5d$

$a_{14} = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$a_1 + (a_1 + 5d) + (a_1 + 13d) = 63$

Упростим выражение:

$3a_1 + 18d = 63$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 6d = 21$

Выражение $a_1 + 6d$ является седьмым членом прогрессии, $a_7$. Таким образом, из условия задачи мы можем однозначно найти, что $a_7 = 21$.

Нам нужно найти $a_{10}$ и $S_{19}$.

$a_{10} = a_1 + 9d = (a_1 + 6d) + 3d = a_7 + 3d = 21 + 3d$

Сумма первых 19 членов $S_{19}$ связана с $a_{10}$ (так как $a_{10}$ является центральным членом для первых 19 членов):

$S_{19} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 19 = \frac{a_1 + (a_1 + 18d)}{2} \cdot 19 = \frac{2(a_1 + 9d)}{2} \cdot 19 = (a_1+9d) \cdot 19 = 19 a_{10}$

Как видно, значение $a_{10}$ (и, следовательно, $S_{19}$) зависит от разности прогрессии $d$, которую из условия задачи найти невозможно. Это означает, что задача в представленной формулировке не имеет единственного решения. Вероятно, в условии допущена опечатка.

Наиболее вероятная опечатка заключается в том, что требовалось найти те величины, которые однозначно определяются из условия, а именно $a_7$ и $S_{13}$ (так как $a_7$ является центральным членом для первых 13 членов).

Решим эту исправленную задачу:

Найти $a_7$ и $S_{13}$.

Как мы уже выяснили, $a_7 = 21$.

Найдем $S_{13}$ по формуле $S_n = n \cdot a_{\text{средний}}$:

$S_{13} = 13 \cdot a_7 = 13 \cdot 21 = 273$

Ответ: При условии, что в задаче опечатка и требуется найти $a_7$ и $S_{13}$, ответ: $a_7 = 21$, $S_{13} = 273$.

14.23. Решите уравнение, если известно, что слагаемые в левой его части составляют арифметическую прогрессию:

1) $2 + 8 + 14 + \dots + x = 184;$

2) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 185.$

1) В левой части уравнения дана сумма $n$ членов арифметической прогрессии $2 + 8 + 14 + \dots + x = 184$.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.

Второй член прогрессии: $a_2 = 8$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6$.

Последний, n-й член прогрессии: $a_n = x$.

Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 184$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и формулой суммы первых $n$ членов $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения в формулы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $n$ и $x$:

$x = 2 + (n-1) \cdot 6$

$184 = \frac{2 + x}{2} \cdot n$

Упростим первое уравнение: $x = 2 + 6n - 6 = 6n - 4$.

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$184 = \frac{2 + (6n - 4)}{2} \cdot n$

$184 = \frac{6n - 2}{2} \cdot n$

$184 = (3n - 1)n$

$3n^2 - n - 184 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $n$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-184) = 1 + 2208 = 2209 = 47^2$.

Найдем корни уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 47}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 47}{6}$.

Так как $n$ (количество членов прогрессии) должно быть натуральным числом, выбираем корень со знаком «плюс»:

$n = \frac{1 + 47}{6} = \frac{48}{6} = 8$.

Теперь, зная количество членов $n=8$, найдем $x$, который является восьмым членом прогрессии:

$x = a_8 = 6n - 4 = 6 \cdot 8 - 4 = 48 - 4 = 44$.

Ответ: $x = 44$.

2) В левой части уравнения дана сумма $n$ членов арифметической прогрессии $5 + 8 + 11 + \dots + x = 185$.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии: $a_1 = 5$.

Разность прогрессии: $d = 8 - 5 = 3$.

Последний, n-й член прогрессии: $a_n = x$.

Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 185$.

Используем те же формулы: $a_n = a_1 + (n-1)d$ и $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Составим систему уравнений:

$x = 5 + (n-1) \cdot 3$

$185 = \frac{5 + x}{2} \cdot n$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$185 = \frac{5 + (3n + 2)}{2} \cdot n$

$185 = \frac{3n + 7}{2} \cdot n$

Умножим обе части на 2:

$370 = (3n + 7)n$

$3n^2 + 7n - 370 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-370) = 49 + 4440 = 4489 = 67^2$.

Найдем корни:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 67}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 67}{6}$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, выбираем положительный корень:

$n = \frac{-7 + 67}{6} = \frac{60}{6} = 10$.

Теперь найдем $x$, который является десятым членом прогрессии:

$x = a_{10} = 3n + 2 = 3 \cdot 10 + 2 = 30 + 2 = 32$.

Ответ: $x = 32$.

14.24. В конечной арифметической прогрессии с нечетным числом членов средний член равен 17, а значение суммы всех слагаемых на 112 больше их числа. Найдите число членов прогрессии.

Пусть $n$ — число членов конечной арифметической прогрессии, а $S_n$ — сумма ее членов.

По условию, число членов прогрессии $n$ является нечетным. В такой прогрессии всегда есть один средний член, его порядковый номер равен $\frac{n+1}{2}$. Обозначим этот член как $a_{\text{ср}}$.

Из условия задачи известно, что средний член равен 17:$a_{\text{ср}} = a_{(n+1)/2} = 17$

Для арифметической прогрессии с нечетным числом членов существует свойство: сумма всех членов прогрессии равна произведению числа членов на средний член.$S_n = n \cdot a_{\text{ср}}$

Подставим известное значение среднего члена в эту формулу:$S_n = n \cdot 17 = 17n$

Также по условию задачи сказано, что значение суммы всех слагаемых на 112 больше их числа. Запишем это в виде уравнения:$S_n = n + 112$

Теперь у нас есть два выражения для $S_n$. Мы можем их приравнять, чтобы составить уравнение относительно $n$:$17n = n + 112$

Решим это линейное уравнение:$17n - n = 112$$16n = 112$$n = \frac{112}{16}$$n = 7$

Мы нашли, что число членов прогрессии равно 7. Это нечетное число, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7

14.25. В арифметической прогрессии $n$-й член задан формулой $a_n = 2.5n + 2$. Найдите значение суммы членов прогрессии с одиннадцатого по двадцатый включительно.

Дана арифметическая прогрессия, n-й член которой задается формулой $a_n = 2,5n + 2$. Нам необходимо найти сумму членов этой прогрессии с одиннадцатого по двадцатый включительно.

Искомую сумму можно найти, используя формулу суммы конечной арифметической прогрессии: $S = \frac{a_k + a_m}{2} \cdot n_{terms}$, где $a_k$ — первый член суммируемой последовательности, $a_m$ — последний член, а $n_{terms}$ — количество членов в последовательности.

1. Найдем первый член искомой последовательности, то есть $a_{11}$.
Подставим $n = 11$ в формулу для n-го члена:
$a_{11} = 2,5 \cdot 11 + 2 = 27,5 + 2 = 29,5$.

2. Найдем последний член искомой последовательности, то есть $a_{20}$.
Подставим $n = 20$ в формулу для n-го члена:
$a_{20} = 2,5 \cdot 20 + 2 = 50 + 2 = 52$.

3. Определим количество членов в последовательности.
Количество членов от 11-го до 20-го включительно равно:
$n_{terms} = 20 - 11 + 1 = 10$.

4. Вычислим сумму.
Теперь, имея все необходимые значения, подставим их в формулу суммы:
$S = \frac{a_{11} + a_{20}}{2} \cdot n_{terms} = \frac{29,5 + 52}{2} \cdot 10$.
Выполним вычисления:
$S = \frac{81,5}{2} \cdot 10 = 40,75 \cdot 10 = 407,5$.

Ответ: 407,5.

14.26. При свободном падении в первую секунду тело проходит путь длиной 5,9 м, а в каждую следующую секунду — на 9,8 м больше. Найдите длину пройденного пути свободно падающего тела:

1) за пятую секунду после начала движения;

2) за пять секунд после начала движения;

3) за седьмую секунду после начала движения;

4) за семь секунд после начала движения.

Данная задача описывает движение, при котором путь, пройденный за каждый последовательный промежуток времени (в данном случае, за каждую секунду), увеличивается на одну и ту же величину. Такая последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Обозначим путь, пройденный телом за n-ю секунду, как $a_n$.

Из условия задачи нам известны:
Первый член прогрессии (путь за первую секунду): $a_1 = 5,9$ м.
Разность прогрессии (величина, на которую увеличивается путь каждую секунду): $d = 9,8$ м.

Для решения будем использовать формулы арифметической прогрессии:
- Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Эта формула позволяет найти расстояние, пройденное за конкретную, n-ю секунду.
- Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Эта формула позволяет найти общее расстояние, пройденное за n секунд.

Требуется найти путь, пройденный телом именно в течение пятой секунды. Это соответствует пятому члену арифметической прогрессии, $a_5$.
Используем формулу n-го члена при $n=5$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 5,9 + 4 \cdot 9,8 = 5,9 + 39,2 = 45,1$ м.
Ответ: 45,1 м.

Требуется найти общий путь, пройденный телом за все пять секунд с начала движения. Это соответствует сумме первых пяти членов прогрессии, $S_5$.
Используем формулу суммы при $n=5$:
$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5,9 + 4 \cdot 9,8}{2} \cdot 5 = \frac{11,8 + 39,2}{2} \cdot 5 = \frac{51}{2} \cdot 5 = 25,5 \cdot 5 = 127,5$ м.
Ответ: 127,5 м.

Требуется найти путь, пройденный телом именно в течение седьмой секунды. Это соответствует седьмому члену арифметической прогрессии, $a_7$.
Используем формулу n-го члена при $n=7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d = 5,9 + 6 \cdot 9,8 = 5,9 + 58,8 = 64,7$ м.
Ответ: 64,7 м.

Требуется найти общий путь, пройденный телом за все семь секунд с начала движения. Это соответствует сумме первых семи членов прогрессии, $S_7$.
Используем формулу суммы при $n=7$:
$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = \frac{2 \cdot 5,9 + 6 \cdot 9,8}{2} \cdot 7 = \frac{11,8 + 58,8}{2} \cdot 7 = \frac{70,6}{2} \cdot 7 = 35,3 \cdot 7 = 247,1$ м.
Ответ: 247,1 м.

43. 1) Найдите наименьшее и наибольшее натуральные числа, которые удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} -x^2 + 6x + 16 > 0, \\ x^2 - 12x + 27 < 0. \end{cases} $

2) Вычислите значение суммы наименьшего и наибольшего целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $ \begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0, \\ x^2 + 15x + 36 < 0. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases}-x^2 + 6x + 16 > 0 \\x^2 - 12x + 27 < 0\end{cases}$

Решим первое неравенство $-x^2 + 6x + 16 > 0$. Для этого умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 6x - 16 < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$. Графиком функции $y = x^2 - 6x - 16$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-2, 8)$.

Решим второе неравенство $x^2 - 12x + 27 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 9$. Графиком функции $y = x^2 - 12x + 27$ является парабола с ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (3, 9)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-2, 8) \cap (3, 9)$. Общим решением системы является интервал $(3, 9)$.

Нам необходимо найти натуральные числа, принадлежащие этому интервалу. Это числа $4, 5, 6, 7, 8$.

Наименьшее натуральное число из этого набора равно 4, а наибольшее равно 8.

Ответ: наименьшее натуральное число 4, наибольшее натуральное число 8.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 + 8x + 7 \ge 0 \\x^2 + 15x + 36 < 0\end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 8x + 7 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 8x + 7$ направлены вверх, неравенство выполняется для значений $x$ вне отрезка между корнями, включая сами корни: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 + 15x + 36 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 36 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -12$ и $x_2 = -3$. Ветви параболы $y = x^2 + 15x + 36$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-12, -3)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)) \cap (-12, -3)$. Результатом пересечения является промежуток $(-12, -7]$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку, это: $-11, -10, -9, -8, -7$.

Наименьшее целое число в этом решении равно -11, а наибольшее целое число равно -7.

Вычислим сумму наименьшего и наибольшего целых чисел: $-11 + (-7) = -18$.

Ответ: -18.

44. Решите систему неравенств:

1)

$ \begin{cases} |x| \ge 5, \\ 6 + x > 0; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} |x| \le 3, \\ -9 + x^2 \le 0; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} |x - 2| \le 3, \\ x^2 - x - 12 < 0. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} |x| \ge 5 \\ 6 + x > 0 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $|x| \ge 5$.

Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge 5$ или $x \le -5$.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $6 + x > 0$.

Перенесем 6 в правую часть: $x > -6$.

Множество решений второго неравенства: $x \in (-6; +\infty)$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Найдем пересечение $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$ и $(-6; +\infty)$.

Для этого удобно рассмотреть два случая:

а) Пересечение $(-6; +\infty)$ и $(-\infty; -5]$ дает промежуток $(-6; -5]$.

б) Пересечение $(-6; +\infty)$ и $[5; +\infty)$ дает промежуток $[5; +\infty)$.

Объединяя эти два результата, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-6; -5] \cup [5; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} |x| \le 3 \\ -9 + x^2 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $|x| \le 3$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-3 \le x \le 3$.

Множество решений первого неравенства: $x \in [-3; 3]$.

Решим второе неравенство: $-9 + x^2 \le 0$.

Перепишем его в виде $x^2 \le 9$. Это неравенство, как и первое, эквивалентно $|x| \le 3$, что дает $-3 \le x \le 3$.

Множество решений второго неравенства: $x \in [-3; 3]$.

Поскольку оба неравенства системы имеют одинаковое множество решений, их пересечение будет совпадать с этим же множеством.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.

3) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} |x-2| \le 3 \\ x^2 - x + 12 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $|x-2| \le 3$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-3 \le x - 2 \le 3$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $-3 + 2 \le x \le 3 + 2$.

Получаем: $-1 \le x \le 5$.

Множество решений первого неравенства: $x \in [-1; 5]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x + 12 < 0$.

Для анализа этого квадратного неравенства найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 12 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), парабола $y = x^2 - x + 12$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - x + 12$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 - x + 12 < 0$ не имеет решений.

Решением системы является пересечение множества решений первого неравенства $x \in [-1; 5]$ и множества решений второго неравенства, которое является пустым множеством (∅). Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество.

Ответ: нет решений.

45. 1) Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} |2x - 3| \le 1, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}$

2) Найдите множество всех целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} |2x + 5| \le 3, \\ x^2 - 5x - 24 \le 0. \end{cases}$

1) Чтобы найти сумму целых чисел, удовлетворяющих системе, решим каждое неравенство отдельно и найдем пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $|2x - 3| \le 1$.

Данное неравенство с модулем равносильно системе (или двойному неравенству):

$-1 \le 2x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 + 3 \le 2x \le 1 + 3$

$2 \le 2x \le 4$

Разделим все части на 2:

$1 \le x \le 2$

Решением первого неравенства является отрезок $[1; 2]$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) > 0$

Найдем корни уравнения $x(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 0$. В виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем решение системы, то есть пересечение решений обоих неравенств: $x \in [1; 2]$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[1; 2]$.

Целые числа, которые принадлежат отрезку $[1; 2]$, это 1 и 2.

Вычислим их сумму:

$1 + 2 = 3$

Ответ: 3

2) Чтобы найти множество всех целых чисел, удовлетворяющих системе, решим каждое неравенство и найдем пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $|2x + 5| \le 3$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-3 \le 2x + 5 \le 3$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-3 - 5 \le 2x \le 3 - 5$

$-8 \le 2x \le -2$

Разделим все части на 2:

$-4 \le x \le -1$

Решением первого неравенства является отрезок $[-4; -1]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x - 24 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 24$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями (включая сами корни).

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-3; 8]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-4; -1]$ и $x \in [-3; 8]$.

Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-3; -1]$.

Целые числа, принадлежащие отрезку $[-3; -1]$, это -3, -2 и -1.

Таким образом, искомое множество целых чисел: $\{-3, -2, -1\}$.

Ответ: $\{-3, -2, -1\}$

46. В координатной плоскости покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $\begin{cases} y < x^2, \\ x - 5 \ge 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y < -x^2 + 2, \\ x^2 + y^2 + 2y \ge 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y > x^2 - 2x, \\ x^2 + y^2 - 4y \ge 1. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y < x^2, \\ x - 5 \ge 0; \end{cases} $$

Первое неравенство $y < x^2$ задает множество точек, лежащих ниже параболы $y = x^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх. Так как неравенство строгое ($<$), граница (сама парабола) не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x - 5 \ge 0$ можно переписать в виде $x \ge 5$. Это неравенство задает полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = 5$, включая саму прямую. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница (прямая $x = 5$) включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: область, которая находится одновременно ниже параболы $y = x^2$ и правее прямой $x=5$ (включая прямую).

Ответ: Искомое множество точек — это область в правой части координатной плоскости, ограниченная снизу и слева сплошной линией $x=5$ и сверху пунктирной линией параболы $y=x^2$.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y < 2; \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница (окружность) включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x - y < 2$ можно переписать в виде $y > x - 2$. Это неравенство задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = x - 2$. Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Так как неравенство строгое ($<$), граница (сама прямая) не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, расположенная выше пунктирной прямой $y=x-2$. Эта прямая является хордой окружности, проходящей через точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Искомое множество точек — это сегмент круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 2, ограниченный сплошной дугой окружности и пунктирной хордой $y=x-2$, содержащий центр круга.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y < -x^2 + 2, \\ x^2 + y^2 + 2y \ge 3; \end{cases} $$

Первое неравенство $y < -x^2 + 2$ задает множество точек, лежащих ниже параболы $y = -x^2 + 2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вниз. Неравенство строгое ($<$), поэтому граница (парабола) будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 + 2y \ge 3$ преобразуем, выделив полный квадрат для переменной $y$: $x^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 \ge 3$ $x^2 + (y + 1)^2 \ge 4$ Это неравенство задает множество точек, лежащих вне круга (включая границу) с центром в точке $(0, -1)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница (окружность) будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: область, которая находится одновременно ниже пунктирной параболы $y = -x^2 + 2$ и вне сплошной окружности $x^2 + (y+1)^2 = 4$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная сверху пунктирной параболой $y=-x^2+2$ и "вырезанная" изнутри сплошной окружностью $x^2+(y+1)^2=4$.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y > x^2 - 2x, \\ x^2 + y^2 - 4y \ge 1; \end{cases} $$

Первое неравенство $y > x^2 - 2x$ преобразуем, выделив полный квадрат для переменной $x$: $y > (x^2 - 2x + 1) - 1$ $y > (x - 1)^2 - 1$ Это неравенство задает множество точек, лежащих выше параболы $y = (x-1)^2 - 1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$, ветви направлены вверх. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница (парабола) будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 - 4y \ge 1$ преобразуем, выделив полный квадрат для $y$: $x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 \ge 1$ $x^2 + (y - 2)^2 \ge 5$ Это неравенство задает множество точек, лежащих вне круга (включая границу) с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{5} \approx 2.24$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница (окружность) будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: область, которая находится одновременно выше пунктирной параболы $y = (x-1)^2 - 1$ и вне сплошной окружности $x^2 + (y-2)^2 = 5$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, лежащая "внутри" (выше) ветвей пунктирной параболы $y=(x-1)^2-1$, из которой "вырезана" область, лежащая внутри сплошной окружности $x^2+(y-2)^2=5$.

48. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 4x + 3;$

2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2;$

3) $y = -x^2 + 3x - 1;$

4) $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 1.$

1) $y = 2x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, ее график — парабола. В данном случае коэффициенты: $a=2$, $b=-4$, $c=3$.
Поскольку коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_0 = y(x_0) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$
Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
При $x=0$, $y = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.
При $y=0$, получаем уравнение $2x^2 - 4x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$.
Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось OX.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x=1$.
Точка, симметричная точке $(0, 3)$ относительно прямой $x=1$, имеет координаты $(2, 3)$.
Проверим: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 - 8 + 3 = 3$.
Возьмем $x=-1$: $y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$. Точка $(-1, 9)$.

Нанесем точки на координатную плоскость: вершину $(1, 1)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$, $(-1, 9)$ и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветвями, направленными вверх. График не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 3)$.

2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2$

Это квадратичная функция. Коэффициенты: $a=\frac{1}{2}$, $b=2$, $c=-2$.
Так как $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2$
$y_0 = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) - 2 = \frac{1}{2}(4) - 4 - 2 = 2 - 6 = -4$
Вершина параболы находится в точке $(-2, -4)$. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0)^2 + 2(0) - 2 = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.
При $y=0$, получаем уравнение $\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 = 0$. Умножим на 2: $x^2 + 4x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = 4^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = -2 - 2\sqrt{2} \approx -4.83$, $x_2 = -2 + 2\sqrt{2} \approx 0.83$.
Точки пересечения с осью OX: $(-2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{2}, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, -2)$ относительно оси $x=-2$, это $(-4, -2)$.
Проверим: $y(-4) = \frac{1}{2}(-4)^2 + 2(-4) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
Возьмем $x=2$: $y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) - 2 = 2 + 4 - 2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветвями вверх. Пересекает ось OY в точке $(0, -2)$ и ось OX в точках $(-2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{2}, 0)$.

3) $y = -x^2 + 3x - 1$

Это квадратичная функция. Коэффициенты: $a=-1$, $b=3$, $c=-1$.
Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$
$y_0 = -(1.5)^2 + 3(1.5) - 1 = -2.25 + 4.5 - 1 = 1.25$
Вершина параболы находится в точке $(1.5, 1.25)$. Ось симметрии — прямая $x=1.5$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = -(0)^2 + 3(0) - 1 = -1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$.
При $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 3x - 1 = 0$, или $x^2 - 3x + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.38$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, -1)$ относительно оси $x=1.5$, это $(3, -1)$.
Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 3(3) - 1 = -9 + 9 - 1 = -1$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = -(1)^2 + 3(1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 3x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1.5, 1.25)$, ветвями вниз. Пересекает ось OY в точке $(0, -1)$ и ось OX в точках $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$.

4) $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 1$

Это квадратичная функция. Коэффициенты: $a=-\frac{1}{3}$, $b=-1$, $c=1$.
Так как $a=-\frac{1}{3} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{2/3} = -1.5$
$y_0 = -\frac{1}{3}(-1.5)^2 - (-1.5) + 1 = -\frac{1}{3}(2.25) + 1.5 + 1 = -0.75 + 2.5 = 1.75$
Вершина параболы находится в точке $(-1.5, 1.75)$. Ось симметрии — прямая $x=-1.5$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = -\frac{1}{3}(0)^2 - 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.
При $y=0$, получаем уравнение $-\frac{1}{3}x^2 - x + 1 = 0$. Умножим на -3: $x^2 + 3x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2} \approx -3.79$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \approx 0.79$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, 1)$ относительно оси $x=-1.5$, это $(-3, 1)$.
Проверим: $y(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 - (-3) + 1 = -3 + 3 + 1 = 1$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = -\frac{1}{3}(1)^2 - 1 + 1 = -\frac{1}{3}$. Точка $(1, -1/3)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1.5, 1.75)$, ветвями вниз. Пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

49. Постройте график и укажите область определения и множество значений функции:

1) $y = 2x^2 + |x|;$

2) $y = -x^2 + 3|x|;$

3) $y = 2x - x \cdot |x|;$

4) $y = x \cdot |x| - 3x.$

1)

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + |x|$. Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2x^2 + x$. Это ветвь параболы, направленной вверх. Вершина параболы $y=2x^2+x$ находится в точке с абсциссой $x_v = -b/(2a) = -1/(2 \cdot 2) = -0.25$. Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, на этом промежутке функция возрастает от своего минимального значения в точке $(0, 0)$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2x^2 - x$. Это также ветвь параболы, направленной вверх. Вершина параболы $y=2x^2-x$ находится в точке с абсциссой $x_v = -(-1)/(2 \cdot 2) = 0.25$. На промежутке $x < 0$ функция убывает до точки $(0, 0)$.

Функция является четной ($y(-x) = 2(-x)^2 + |-x| = 2x^2 + |x| = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа, так как выражение $2x^2 + |x|$ имеет смысл при любом $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, то $y = 2x^2 + |x| \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 3|x|$. Раскроем модуль.

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -x^2 + 3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы: $x_v = -3/(2 \cdot (-1)) = 1.5$. $y_v = -(1.5)^2 + 3(1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина в точке $(1.5; 2.25)$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x^2 - 3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы: $x_v = -(-3)/(2 \cdot (-1)) = -1.5$. $y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина в точке $(-1.5; 2.25)$.

Функция является четной ($y(-x) = -(-x)^2 + 3|-x| = -x^2 + 3|x| = y(x)$), график симметричен относительно оси Oy.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. Максимальное значение функция достигает в вершинах парабол, $y_{max} = 2.25$. Ветви направлены вниз.
$E(y) = (-\infty; 2.25]$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 2.25]$.

3)

Рассмотрим функцию $y = 2x - x|x|$. Раскроем модуль.

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2x - x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$. $y_v = 2(1) - 1^2 = 1$. Вершина в точке $(1; 1)$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2x - x(-x) = 2x + x^2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина в точке $(-1; -1)$.

Функция является нечетной ($y(-x) = 2(-x) - (-x)|-x| = -2x + x|x| = -(2x - x|x|) = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. При $x \to +\infty$, $y = 2x - x^2 \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y = x^2 + 2x \to +\infty$. Так как функция непрерывна, она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

4)

Рассмотрим функцию $y = x|x| - 3x$. Раскроем модуль.

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 3x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$. $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(1.5; -2.25)$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x(-x) - 3x = -x^2 - 3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -(-3)/(2 \cdot (-1)) = -1.5$. $y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина в точке $(-1.5; 2.25)$.

Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)|-x| - 3(-x) = -x|x| + 3x = -(x|x| - 3x) = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. При $x \to +\infty$, $y = x^2 - 3x \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y = -x^2 - 3x \to -\infty$. Функция непрерывна, следовательно, принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

50. Постройте график функции и найдите наибольшее или наименьшее значение функции (если они существуют):

1) $y = 4x^2 - 2x + 3$;

2) $y = -x^2 - 4x + 2$;

3) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$;

4) $y = 2 + \sqrt{2 - x}$.

1) $y = 4x^2 - 2x + 3$;

График данной функции – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $4$, что больше нуля ($a=4 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы, но не имеет наибольшего значения.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = y(x_v)$.

$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$y_v = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 3 = 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$

Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{4}; 2.75)$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Ось симметрии параболы – прямая $x = \frac{1}{4}$.

При $x=0$, $y=3$. Точка $(0; 3)$.

При $x=1$, $y = 4(1)^2 - 2(1) + 3 = 5$. Точка $(1; 5)$.

Симметричная точке $(0; 3)$ относительно оси $x = \frac{1}{4}$ будет точка $(\frac{1}{2}; 3)$.

График – парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{4}; 2.75)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(0; 3)$, $(\frac{1}{2}; 3)$ и $(1; 5)$.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины. Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно возрастают при $x \to \pm\infty$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 2.75$, наибольшего значения не существует.

2) $y = -x^2 - 4x + 2$;

График данной функции – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a=-1 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы, но не имеет наименьшего значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$

$y_v = -(-2)^2 - 4(-2) + 2 = -4 + 8 + 2 = 6$

Вершина параболы находится в точке $(-2; 6)$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Ось симметрии параболы – прямая $x = -2$.

При $x=0$, $y=2$. Точка $(0; 2)$.

При $x=-1$, $y = -(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -1 + 4 + 2 = 5$. Точка $(-1; 5)$.

Симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси $x = -2$ будет точка $(-4; 2)$.

График – парабола с вершиной в точке $(-2; 6)$, ветвями вниз, проходящая через точки $(0; 2)$, $(-1; 5)$ и $(-4; 2)$.

Наибольшее значение функции равно ординате вершины. Наименьшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно убывают при $x \to \pm\infty$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 6$, наименьшего значения не существует.

3) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$;

График данной функции – ветвь параболы. Построить его можно путем преобразований графика функции $y = \sqrt{x}$.

Найдем область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1; +\infty)$.

График начинается в точке $(1, y(1))$.

Найдем начальную точку: при $x=1$, $y = 2 - \sqrt{1-1} = 2$. Точка $(1; 2)$.

Найдем еще несколько точек: при $x=2$, $y = 2 - \sqrt{2-1} = 1$; при $x=5$, $y = 2 - \sqrt{5-1} = 0$.

График представляет собой кривую, выходящую из точки $(1; 2)$ и убывающую при увеличении $x$.

В точке $x=1$ функция принимает значение $y=2$. При увеличении $x$ значение $\sqrt{x-1}$ увеличивается, а значение $2 - \sqrt{x-1}$ уменьшается. Следовательно, в точке $(1; 2)$ функция достигает своего наибольшего значения. Наименьшего значения не существует, так как функция неограниченно убывает. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 2$, наименьшего значения не существует.

4) $y = 2 + \sqrt{2 - x}$.

График данной функции – ветвь параболы. Построить его можно путем преобразований графика функции $y = \sqrt{x}$.

Найдем область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2]$.

График заканчивается в точке $(2, y(2))$.

Найдем конечную точку: при $x=2$, $y = 2 + \sqrt{2-2} = 2$. Точка $(2; 2)$.

Найдем еще несколько точек: при $x=1$, $y = 2 + \sqrt{2-1} = 3$; при $x=-2$, $y = 2 + \sqrt{2-(-2)} = 4$.

График представляет собой кривую, идущую из $-\infty$ и заканчивающуюся в точке $(2; 2)$.

Так как $\sqrt{2-x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = 2 + \sqrt{2-x} \ge 2$. Следовательно, в точке $(2; 2)$ функция достигает своего наименьшего значения. Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает при $x \to -\infty$. Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 2$, наибольшего значения не существует.