Номер 50, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50. Постройте график функции и найдите наибольшее или наименьшее значение функции (если они существуют):

1) $y = 4x^2 - 2x + 3$;

2) $y = -x^2 - 4x + 2$;

3) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$;

4) $y = 2 + \sqrt{2 - x}$.

1) $y = 4x^2 - 2x + 3$;

График данной функции – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $4$, что больше нуля ($a=4 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы, но не имеет наибольшего значения.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = y(x_v)$.

$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$y_v = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 3 = 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$

Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{4}; 2.75)$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Ось симметрии параболы – прямая $x = \frac{1}{4}$.

При $x=0$, $y=3$. Точка $(0; 3)$.

При $x=1$, $y = 4(1)^2 - 2(1) + 3 = 5$. Точка $(1; 5)$.

Симметричная точке $(0; 3)$ относительно оси $x = \frac{1}{4}$ будет точка $(\frac{1}{2}; 3)$.

График – парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{4}; 2.75)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(0; 3)$, $(\frac{1}{2}; 3)$ и $(1; 5)$.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины. Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно возрастают при $x \to \pm\infty$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 2.75$, наибольшего значения не существует.

2) $y = -x^2 - 4x + 2$;

График данной функции – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a=-1 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы, но не имеет наименьшего значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$

$y_v = -(-2)^2 - 4(-2) + 2 = -4 + 8 + 2 = 6$

Вершина параболы находится в точке $(-2; 6)$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Ось симметрии параболы – прямая $x = -2$.

При $x=0$, $y=2$. Точка $(0; 2)$.

При $x=-1$, $y = -(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -1 + 4 + 2 = 5$. Точка $(-1; 5)$.

Симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси $x = -2$ будет точка $(-4; 2)$.

График – парабола с вершиной в точке $(-2; 6)$, ветвями вниз, проходящая через точки $(0; 2)$, $(-1; 5)$ и $(-4; 2)$.

Наибольшее значение функции равно ординате вершины. Наименьшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно убывают при $x \to \pm\infty$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 6$, наименьшего значения не существует.

3) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$;

График данной функции – ветвь параболы. Построить его можно путем преобразований графика функции $y = \sqrt{x}$.

Найдем область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1; +\infty)$.

График начинается в точке $(1, y(1))$.

Найдем начальную точку: при $x=1$, $y = 2 - \sqrt{1-1} = 2$. Точка $(1; 2)$.

Найдем еще несколько точек: при $x=2$, $y = 2 - \sqrt{2-1} = 1$; при $x=5$, $y = 2 - \sqrt{5-1} = 0$.

График представляет собой кривую, выходящую из точки $(1; 2)$ и убывающую при увеличении $x$.

В точке $x=1$ функция принимает значение $y=2$. При увеличении $x$ значение $\sqrt{x-1}$ увеличивается, а значение $2 - \sqrt{x-1}$ уменьшается. Следовательно, в точке $(1; 2)$ функция достигает своего наибольшего значения. Наименьшего значения не существует, так как функция неограниченно убывает. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 2$, наименьшего значения не существует.

4) $y = 2 + \sqrt{2 - x}$.

График данной функции – ветвь параболы. Построить его можно путем преобразований графика функции $y = \sqrt{x}$.

Найдем область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2]$.

График заканчивается в точке $(2, y(2))$.

Найдем конечную точку: при $x=2$, $y = 2 + \sqrt{2-2} = 2$. Точка $(2; 2)$.

Найдем еще несколько точек: при $x=1$, $y = 2 + \sqrt{2-1} = 3$; при $x=-2$, $y = 2 + \sqrt{2-(-2)} = 4$.

График представляет собой кривую, идущую из $-\infty$ и заканчивающуюся в точке $(2; 2)$.

Так как $\sqrt{2-x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = 2 + \sqrt{2-x} \ge 2$. Следовательно, в точке $(2; 2)$ функция достигает своего наименьшего значения. Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает при $x \to -\infty$. Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 2$, наибольшего значения не существует.