Номер 55, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

55. Дано 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Если взять первый замок и попробовать открыть его каждым из десяти ключей, то в лучшем случае он откроется первым же ключом, в худшем — только десятым. Сколько нужно максимум произвести проб, чтобы открыть все замки?

Чтобы найти максимальное количество проб, которое потребуется для открытия всех замков, мы должны рассмотреть наихудший сценарий на каждом шаге. Стратегия заключается в том, чтобы брать замки по одному и последовательно пробовать все оставшиеся ключи, пока не найдется подходящий.

Для первого замка у нас есть 10 ключей. В худшем случае правильный ключ окажется последним из тех, что мы пробуем. Это означает, что мы сделаем 9 неудачных попыток, и только 10-я попытка окажется успешной. Таким образом, максимальное число проб для первого замка равно 10. После того как первый замок открыт, мы откладываем его и соответствующий ключ в сторону. У нас остается 9 замков и 9 ключей.

Для второго замка теперь есть 9 ключей. По той же логике, в худшем случае потребуется 9 проб, чтобы его открыть. После этого останется 8 замков и 8 ключей.

Этот процесс продолжается для всех замков. Для каждого следующего замка максимальное количество необходимых проб будет уменьшаться на единицу:
- для 3-го замка — 8 проб,
- для 4-го — 7 проб,
- и так далее, до последнего замка.

Для девятого замка у нас останется 2 ключа. В худшем случае первая проба будет неудачной, а вторая — успешной. Потребуется 2 пробы.

Для десятого (последнего) замка останется всего один ключ, который гарантированно к нему подходит. Чтобы открыть замок, потребуется 1 проба.

Общее максимальное количество проб равно сумме максимальных проб для каждого из 10 замков. Это сумма чисел от 10 до 1:
$N = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$
Эта сумма является суммой первых 10 членов арифметической прогрессии и может быть вычислена по формуле:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
Подставив $n=10$, получаем:
$N = \frac{10 \times (10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Ответ: 55