Номер 53, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53. На рисунке 85 построен график квадратичной функции:

1) укажите промежутки монотонности функции;

Рис. 85

Рис. 86

2) запишите промежутки знакопостоянства функции;

3) запишите уравнение оси симметрии графика;

4) запишите наименьшее значение функции.

1) укажите промежутки монотонности функции;

Промежутки монотонности функции определяются по поведению графика при движении по оси $Ox$ слева направо. Вершина параболы, являющаяся точкой экстремума, находится в точке $(3, -4)$.

Функция убывает на промежутке, где ее график идет вниз. Это происходит при значениях $x$ от $-\infty$ до абсциссы вершины. Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$.

Функция возрастает на промежутке, где ее график идет вверх. Это происходит при значениях $x$ от абсциссы вершины до $+\infty$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

2) запишите промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Для их нахождения определим точки пересечения графика с осью $Ox$ (нули функции).

Из графика видно, что нули функции находятся в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это соответствует промежуткам $(-\infty, 1)$ и $(5, +\infty)$.

Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это соответствует промежутку $(1, 5)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1, 5)$.

3) запишите уравнение оси симметрии графика;

Ось симметрии параболы представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через ее вершину. Из графика видно, что координаты вершины параболы равны $(3, -4)$.

Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой $x_v$, имеет вид $x = x_v$.

Для данной параболы абсцисса вершины $x_v = 3$.

Ответ: $x = 3$.

4) запишите наименьшее значение функции.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. Это значение достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы — $(3, -4)$.

Наименьшее значение функции равно ординате ее вершины.

Ответ: $y_{наим} = -4$.