Номер 54, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54. 1) На рисунке 86 изображен график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, а $D=b^2-4ac$. Найдите знаки чисел $a, b, c$ и $D$.

Рис. 87 Рис. 88

2) На рисунке 87 изображен график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, а $D=b^2-4ac$. Найдите знаки чисел $a, b, c$ и $D$.

3) На рисунке 88 изображен график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, а $D=b^2-4ac$. Тогда справедливы соотношения:

а) $ab < 0$; б) $Dc > 0$;

в) $Db > 0$;

г) $bc > 0$;

д) $aD > 0$.

2) Для определения знаков коэффициентов и дискриминанта квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по ее графику на рисунке 87, проанализируем его свойства.

1. Знак коэффициента a: Ветви параболы направлены вниз, это означает, что старший коэффициент $a$ отрицателен: $a < 0$.

2. Знак коэффициента c: График пересекает ось ординат (ось OY) в точке с положительной ординатой. Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0, c)$. Следовательно, $c > 0$.

3. Знак дискриминанта D: График пересекает ось абсцисс (ось OX) в двух различных точках. Это означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ в этом случае положителен: $D > 0$.

4. Знак коэффициента b: Абсцисса вершины параболы определяется формулой $x_v = -\frac{b}{2a}$. Из графика видно, что вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть ее абсцисса отрицательна: $x_v < 0$. Имеем неравенство $-\frac{b}{2a} < 0$, что эквивалентно $\frac{b}{2a} > 0$. Так как мы уже установили, что $a < 0$, то для того, чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть отрицательным: $b < 0$.

Таким образом, мы получили следующие знаки: $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D > 0$.

Ответ: $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D > 0$.

3) Проанализируем график функции $y = ax^2 + bx + c$ на рисунке 88, чтобы определить знаки коэффициентов $a, b, c$ и дискриминанта $D$.

Сначала определим знаки $a, b, c$ и $D$ по виду графика:

1. Знак a: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: График пересекает ось OY в точке с отрицательной ординатой. Так как $y(0) = c$, то $c < 0$.

3. Знак D: Парабола пересекает ось OX в двух различных точках, значит, уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня, следовательно, дискриминант $D > 0$.

4. Знак b: Вершина параболы $x_v = -\frac{b}{2a}$ находится в правой полуплоскости, поэтому $x_v > 0$. Так как $a > 0$, то $2a > 0$. Из неравенства $-\frac{b}{2a} > 0$ следует, что $-b > 0$, а значит $b < 0$.

Итак, имеем: $a > 0$, $b < 0$, $c < 0$, $D > 0$. Теперь проверим справедливость предложенных соотношений:

а) $ab < 0$. Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, их произведение будет отрицательным. $a \cdot b < 0$. Соотношение справедливо.

б) $Dc > 0$. Поскольку $D > 0$ и $c < 0$, их произведение будет отрицательным. $D \cdot c < 0$. Соотношение несправедливо.

в) $Db > 0$. Поскольку $D > 0$ и $b < 0$, их произведение будет отрицательным. $D \cdot b < 0$. Соотношение несправедливо.

г) $bc > 0$. Поскольку $b < 0$ и $c < 0$, их произведение будет положительным. $b \cdot c > 0$. Соотношение справедливо.

д) $aD > 0$. Поскольку $a > 0$ и $D > 0$, их произведение будет положительным. $a \cdot D > 0$. Соотношение справедливо.

Ответ: а), г), д).