Номер 52, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2 + 2}{x - 1} = 0;$

2) $\frac{y - x^2 + 2x}{x + 1} = 0;$

3) $\frac{y^2 - x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0;$

4) $\frac{y^2 - x^2 - 4x}{x^2 - 4} = 0.$

1) Постройте график уравнения $\frac{y - x^2 + 2}{x - 1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} y - x^2 + 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = x^2 - 2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -2)$.

Второе условие, $x - 1 \neq 0$, означает, что $x \neq 1$.

Таким образом, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2 - 2$, из которой исключена точка, соответствующая абсциссе $x = 1$.

Найдем ординату этой точки: при $x=1$, $y = 1^2 - 2 = -1$.

Следовательно, точка $(1, -1)$ должна быть исключена из графика (на графике она обозначается как "выколотая" точка или маленький кружок).

Ответ: Графиком является парабола $y = x^2 - 2$ с выколотой точкой $(1, -1)$.

2) Постройте график уравнения $\frac{y - x^2 + 2x}{x + 1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 2x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_в = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.

Второе условие дает ограничение на область определения: $x \neq -1$.

Следовательно, мы должны построить параболу $y = x^2 - 2x$ и исключить из нее точку с абсциссой $x = -1$.

Найдем ординату этой точки: при $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Значит, точка $(-1, 3)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком является парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой $(-1, 3)$.

3) Постройте график уравнения $\frac{y^2 - x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y^2 - x^2 - 4 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение $y^2 - x^2 = 4$ можно переписать в каноническом виде: $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{4} = 1$. Это уравнение гиперболы с центром в начале координат $(0, 0)$. Поскольку член с $y^2$ имеет положительный знак, ветви гиперболы направлены вверх и вниз. Вершины гиперболы находятся в точках $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Асимптотами являются прямые $y = x$ и $y = -x$.

Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Найдем точки, которые нужно исключить из графика.При $x=1$: $y^2 - 1^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}$. Исключаются точки $(1, \sqrt{5})$ и $(1, -\sqrt{5})$.При $x=-1$: $y^2 - (-1)^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}$. Исключаются точки $(-1, \sqrt{5})$ и $(-1, -\sqrt{5})$.Всего на графике четыре выколотые точки.

Ответ: Графиком является гипербола $y^2 - x^2 = 4$ с четырьмя выколотыми точками: $(1, \sqrt{5})$, $(1, -\sqrt{5})$, $(-1, \sqrt{5})$ и $(-1, -\sqrt{5})$.

4) Постройте график уравнения $\frac{y^2 - x^2 - 4x}{x^2 - 4} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y^2 - x^2 - 4x = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, выделив полный квадрат по переменной $x$:$y^2 = x^2 + 4x \implies y^2 = (x^2 + 4x + 4) - 4 \implies y^2 + 4 = (x+2)^2$.Перепишем в каноническом виде: $(x+2)^2 - y^2 = 4 \implies \frac{(x+2)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$.Это уравнение гиперболы, центр которой смещен в точку $(-2, 0)$. Так как член с $(x+2)^2$ имеет положительный знак, ветви гиперболы направлены влево и вправо. Вершины находятся в точках $(-4, 0)$ и $(0, 0)$. Асимптоты задаются уравнениями $y = \pm(x+2)$, то есть $y = x+2$ и $y = -x-2$.

Второе условие $x^2 - 4 \neq 0$ означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Найдем точки, которые нужно исключить из графика.При $x=2$: $y^2 - 2^2 - 4(2) = 0 \implies y^2 - 4 - 8 = 0 \implies y^2 = 12 \implies y = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$. Исключаются точки $(2, 2\sqrt{3})$ и $(2, -2\sqrt{3})$.При $x=-2$: $y^2 - (-2)^2 - 4(-2) = 0 \implies y^2 - 4 + 8 = 0 \implies y^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на гиперболе нет точек с абсциссой $x=-2$. Значит, условие $x \neq -2$ не приводит к появлению выколотых точек.

Ответ: Графиком является гипербола $\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$ с двумя выколотыми точками $(2, 2\sqrt{3})$ и $(2, -2\sqrt{3})$.