Номер 51, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51. Решите уравнение графическим способом и запишите при-ближенные значения корня уравнения:

1) $x^2 - 4x = \frac{1}{x+1}$;

2) $-3x^2 + 2x - 2 = \frac{x+1}{x-2}$.

1) $x^2 - 4x = \frac{1}{x+1}$

Для решения уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = x^2 - 4x$ и $y_2 = \frac{1}{x+1}$.
$y_1 = x^2 - 4x$ — это парабола. Преобразуем ее уравнение, выделив полный квадрат: $y_1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(2, -4)$.
$y_2 = \frac{1}{x+1}$ — это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox. Ее асимптоты — прямые $x = -1$ и $y = 0$.

Построим графики этих функций. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков.

Из графика видно, что функции пересекаются в трех точках. Приближенные значения абсцисс этих точек:
$x_1 \approx -0.7$
$x_2 \approx -0.4$
$x_3 \approx 4.1$

Ответ: $x_1 \approx -0.7$, $x_2 \approx -0.4$, $x_3 \approx 4.1$.

2) $-3x^2 + 2x - 2 = \frac{x+1}{x-2}$

Построим в одной системе координат графики функций: $y_1 = -3x^2 + 2x - 2$ и $y_2 = \frac{x+1}{x-2}$.
$y_1 = -3x^2 + 2x - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{2}{2(-3)} = \frac{1}{3}$, $y_v = -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) - 2 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 2 = -\frac{5}{3} \approx -1.67$. Вершина находится в точке $(\frac{1}{3}, -1\frac{2}{3})$.
$y_2 = \frac{x+1}{x-2}$ — это гипербола. Преобразуем ее уравнение: $y_2 = \frac{(x-2)+3}{x-2} = 1 + \frac{3}{x-2}$. График получен из $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптоты — прямые $x=2$ и $y=1$.

Построим графики этих функций.

Из графика видно, что функции пересекаются только в одной точке. Абсцисса этой точки и есть единственный корень уравнения. Приближенное значение по графику:
$x \approx 1.6$

Ответ: $x \approx 1.6$.