Номер 44, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44. Решите систему неравенств:

1)

$ \begin{cases} |x| \ge 5, \\ 6 + x > 0; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} |x| \le 3, \\ -9 + x^2 \le 0; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} |x - 2| \le 3, \\ x^2 - x - 12 < 0. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} |x| \ge 5 \\ 6 + x > 0 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $|x| \ge 5$.

Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge 5$ или $x \le -5$.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $6 + x > 0$.

Перенесем 6 в правую часть: $x > -6$.

Множество решений второго неравенства: $x \in (-6; +\infty)$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Найдем пересечение $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$ и $(-6; +\infty)$.

Для этого удобно рассмотреть два случая:

а) Пересечение $(-6; +\infty)$ и $(-\infty; -5]$ дает промежуток $(-6; -5]$.

б) Пересечение $(-6; +\infty)$ и $[5; +\infty)$ дает промежуток $[5; +\infty)$.

Объединяя эти два результата, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-6; -5] \cup [5; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} |x| \le 3 \\ -9 + x^2 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $|x| \le 3$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-3 \le x \le 3$.

Множество решений первого неравенства: $x \in [-3; 3]$.

Решим второе неравенство: $-9 + x^2 \le 0$.

Перепишем его в виде $x^2 \le 9$. Это неравенство, как и первое, эквивалентно $|x| \le 3$, что дает $-3 \le x \le 3$.

Множество решений второго неравенства: $x \in [-3; 3]$.

Поскольку оба неравенства системы имеют одинаковое множество решений, их пересечение будет совпадать с этим же множеством.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.

3) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} |x-2| \le 3 \\ x^2 - x + 12 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $|x-2| \le 3$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-3 \le x - 2 \le 3$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $-3 + 2 \le x \le 3 + 2$.

Получаем: $-1 \le x \le 5$.

Множество решений первого неравенства: $x \in [-1; 5]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x + 12 < 0$.

Для анализа этого квадратного неравенства найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 12 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), парабола $y = x^2 - x + 12$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - x + 12$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 - x + 12 < 0$ не имеет решений.

Решением системы является пересечение множества решений первого неравенства $x \in [-1; 5]$ и множества решений второго неравенства, которое является пустым множеством (∅). Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество.

Ответ: нет решений.