Номер 41, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $ (x+5)(x-6)^2 < 0; $

2) $ (x+6)^2 (5-x) > 0. $

1) Решим неравенство $(x + 5)(x - 6)^2 < 0$.

Выражение $(x - 6)^2$ является квадратом и, следовательно, всегда неотрицательно, то есть $(x - 6)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что множители не могут быть равны нулю:

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

$(x - 6)^2 \neq 0 \Rightarrow x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$

При условии, что $x \neq 6$, множитель $(x - 6)^2$ всегда будет строго больше нуля. Чтобы произведение $(x + 5)(x - 6)^2$ было отрицательным, необходимо, чтобы другой множитель, $(x + 5)$, был отрицательным, так как произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно.

Таким образом, решаем неравенство:

$x + 5 < 0$

$x < -5$

Мы получили решение $x \in (-\infty; -5)$. Условие $x \neq 6$ при этом выполняется.

Теперь найдем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, которые меньше -5, это -6, -7, -8 и так далее. Наибольшим из них является -6.

Ответ: -6

2) Решим неравенство $(x + 6)^2 (5 - x) > 0$.

Выражение $(x + 6)^2$ является квадратом и всегда неотрицательно: $(x + 6)^2 \ge 0$.

Так как неравенство строгое ($> 0$), левая часть не может равняться нулю. Это значит, что:

$(x + 6)^2 \neq 0 \Rightarrow x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$

$5 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$

При условии $x \neq -6$, множитель $(x + 6)^2$ всегда строго положителен. Чтобы произведение $(x + 6)^2 (5 - x)$ было положительным, необходимо, чтобы другой множитель, $(5 - x)$, также был положительным.

Решаем неравенство:

$5 - x > 0$

$5 > x$

$x < 5$

Итак, мы получили два условия: $x < 5$ и $x \neq -6$. Объединив их, получаем множество решений: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 5)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число из этого множества. Целые числа, которые меньше 5, это 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -7, ... (число -6 исключено). Наибольшим из этих целых чисел является 4.

Ответ: 4