Номер 34, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34. Решите графическим способом систему уравнений:

1)

$\begin{cases} y = x^2 + 2x, \\ x^2 + (y + 3)^2 = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - x^2 - x = 0, \\ (x - 2)^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4, \\ x + y = 3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 9, \\ x - y = -8. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = x^2 + 2x, \\ x^2 + (y + 3)^2 = 1; \end{cases} $
Для решения системы графическим способом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение $y = x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Ордината вершины: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=-2$. Точки: $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Второе уравнение $x^2 + (y + 3)^2 = 1$ — это уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Центр окружности находится в точке $(0, -3)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{1} = 1$.

Построим графики параболы и окружности.

Из графика видно, что парабола и окружность не имеют общих точек. Наинизшая точка параболы $(-1, -1)$ находится выше наивысшей точки окружности $(0, -2)$. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y - x^2 - x = 0, \\ (x - 2)^2 + y^2 = 1; \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение: $y = x^2 + x$.

Первое уравнение $y = x^2 + x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.
Ордината вершины: $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Вершина параболы находится в точке $(-0.5, -0.25)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=-1$. Точки: $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

Второе уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ — это уравнение окружности.
Центр окружности находится в точке $(2, 0)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{1} = 1$.

Построим графики параболы и окружности.

Из графика видно, что парабола и окружность не пересекаются. Окружность расположена в области $1 \le x \le 3$, где значения $y$ для параболы значительно больше 1, в то время как для окружности $|y| \le 1$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4, \\ x + y = 3; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение в вид, удобный для построения: $y = -x + 3$.

Первое уравнение $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$ — это уравнение окружности.
Центр окружности находится в точке $(2, 1)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение $y = -x + 3$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки.
При $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
При $x=3$, $y=0$. Точка $(3, 0)$.

Построим графики окружности и прямой.

Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решениями системы. Заметим, что прямая проходит через центр окружности $(2,1)$, так как $2+1=3$. Следовательно, линия является диаметром окружности. Точные координаты точек пересечения можно найти, решив систему аналитически:
Подставим $y = 3 - x$ в уравнение окружности:
$(x - 2)^2 + ((3 - x) - 1)^2 = 4$
$(x - 2)^2 + (2 - x)^2 = 4$
$2(x - 2)^2 = 4$
$(x - 2)^2 = 2 \Rightarrow x - 2 = \pm\sqrt{2} \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$.
Если $x_1 = 2 + \sqrt{2}$, то $y_1 = 3 - (2 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$.
Если $x_2 = 2 - \sqrt{2}$, то $y_2 = 3 - (2 - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $(2 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})$, $(2 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$.

4)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 9, \\ x - y = -8; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение: $y = x + 8$.

Первое уравнение $(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 9$ — это уравнение окружности.
Центр окружности находится в точке $(-5, 3)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение $y = x + 8$ — это прямая.
При $x=0$, $y=8$. Точка $(0, 8)$.
При $x=-8$, $y=0$. Точка $(-8, 0)$.

Построим графики окружности и прямой.

Графики пересекаются в двух точках. Прямая $y = x + 8$ проходит через центр окружности $(-5, 3)$, так как $3 = -5 + 8$. Следовательно, прямая является диаметром окружности. Для нахождения точных координат решим систему:
$(x + 5)^2 + ((x + 8) - 3)^2 = 9$
$(x + 5)^2 + (x + 5)^2 = 9$
$2(x + 5)^2 = 9$
$(x + 5)^2 = \frac{9}{2} \Rightarrow x + 5 = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = -5 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_1 = -5 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = (-5 + \frac{3\sqrt{2}}{2}) + 8 = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_2 = -5 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = (-5 - \frac{3\sqrt{2}}{2}) + 8 = 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $(-5 + \frac{3\sqrt{2}}{2}, 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2})$, $(-5 - \frac{3\sqrt{2}}{2}, 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2})$.