Номер 32, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 5y^2 - x^2 = 1, \\ 7y^2 + 3xy = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 + xy = 5, \\ x^2 + 3xy = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 - x^2 = 12, \\ y^2 - 3xy + 2x^2 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 - 3xy = 2, \\ y^2 - 4xy + x^2 = 3. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}5y^2 - x^2 = 1 \\7y^2 + 3xy = 1\end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, приравняем их левые части:

$5y^2 - x^2 = 7y^2 + 3xy$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Проверим, является ли $y=0$ решением. Если $y=0$, то из первого уравнения системы получаем $-x^2=1$, что не имеет действительных решений. Следовательно, $y \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $y^2$.

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Рассматриваем два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $5y^2 - x^2 = 1$:

$5y^2 - (-y)^2 = 1$

$5y^2 - y^2 = 1$

$4y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = -y_1 = -\frac{1}{2}$. Получаем решение $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Если $y_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_2 = -y_2 = \frac{1}{2}$. Получаем решение $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $5y^2 - x^2 = 1$:

$5y^2 - (-2y)^2 = 1$

$5y^2 - 4y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -2y_3 = -2$. Получаем решение $(-2, 1)$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -2y_4 = 2$. Получаем решение $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-2, 1), (2, -1)$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}4x^2 + xy = 5 \\x^2 + 3xy = 4\end{cases}$

Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 4, а второе на 5:

$\begin{cases}16x^2 + 4xy = 20 \\5x^2 + 15xy = 20\end{cases}$

Приравняем левые части полученных уравнений:

$16x^2 + 4xy = 5x^2 + 15xy$

$11x^2 - 11xy = 0$

$11x(x - y) = 0$

Это уравнение дает два возможных случая:

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение исходной системы: $4(0)^2 + 0 \cdot y = 5$, что приводит к неверному равенству $0=5$. Следовательно, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x - y = 0$, откуда $x = y$.

Подставим $x=y$ во второе уравнение исходной системы $x^2 + 3xy = 4$:

$x^2 + 3x(x) = 4$

$x^2 + 3x^2 = 4$

$4x^2 = 4 \implies x^2 = 1$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = x_1 = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = x_2 = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}y^2 - x^2 = 12 \\y^2 - 3xy + 2x^2 = 0\end{cases}$

Второе уравнение системы является однородным. Разложим его на множители, рассмотрев как квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 3xy + 2x^2 = 0$

$(y - x)(y - 2x) = 0$

Это дает два возможных случая:

Случай 1: $y - x = 0$, откуда $y = x$.

Подставим $y=x$ в первое уравнение системы $y^2 - x^2 = 12$:

$x^2 - x^2 = 12$, что приводит к неверному равенству $0=12$. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $y - 2x = 0$, откуда $y = 2x$.

Подставим $y=2x$ в первое уравнение системы $y^2 - x^2 = 12$:

$(2x)^2 - x^2 = 12$

$4x^2 - x^2 = 12$

$3x^2 = 12 \implies x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2x_1 = 4$. Получаем решение $(2, 4)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2x_2 = -4$. Получаем решение $(-2, -4)$.

Ответ: $(2, 4), (-2, -4)$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases}y^2 - 3xy = 2 \\y^2 - 4xy + x^2 = 3\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы получить равные правые части:

$\begin{cases}3y^2 - 9xy = 6 \\2y^2 - 8xy + 2x^2 = 6\end{cases}$

Приравняем левые части полученных уравнений:

$3y^2 - 9xy = 2y^2 - 8xy + 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$y^2 - xy - 2x^2 = 0$

Проверим случай $x=0$. Из первого уравнения системы $y^2=2$, из второго $y^2=3$. Это противоречие, значит $x \neq 0$. Разделим уравнение на $x^2$:

$(\frac{y}{x})^2 - (\frac{y}{x}) - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Рассматриваем два случая:

Случай 1: $\frac{y}{x} = 2$, откуда $y = 2x$.

Подставим $y=2x$ в первое уравнение исходной системы $y^2 - 3xy = 2$:

$(2x)^2 - 3x(2x) = 2$

$4x^2 - 6x^2 = 2$

$-2x^2 = 2 \implies x^2 = -1$. Действительных решений в этом случае нет.

Случай 2: $\frac{y}{x} = -1$, откуда $y = -x$.

Подставим $y=-x$ в первое уравнение исходной системы $y^2 - 3xy = 2$:

$(-x)^2 - 3x(-x) = 2$

$x^2 + 3x^2 = 2$

$4x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = -x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Если $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = -x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.