Номер 39, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39. Найдите наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $(2-x)(x-8)^2 \ge 0;$

2) $(x-3)^2(x-9) < 0.$

1)

Рассмотрим неравенство $(2-x)(x-8)^2 \ge 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни левой части уравнения $(2-x)(x-8)^2 = 0$.

Корнями являются $x_1 = 2$ (из множителя $2-x$) и $x_2 = 8$ (из множителя $(x-8)^2$).

Заметим, что корень $x=8$ имеет четную кратность (показатель степени равен 2), а корень $x=2$ — нечетную кратность (показатель степени равен 1). При переходе через корень четной кратности знак выражения не меняется, а при переходе через корень нечетной кратности — меняется.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Из схемы видно, что выражение положительно на интервале $(-\infty, 2)$. Оно равно нулю в точках $x=2$ и $x=8$.Таким образом, множество решений неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup \{8\}$.

Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого множества. Натуральными числами, удовлетворяющими этому условию, являются $1$, $2$ и $8$. Наибольшее из них — 8.

Ответ: 8.

2)

Рассмотрим неравенство $(x-3)^2(x-9) < 0$.

Множитель $(x-3)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, т.е. $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), то произведение не может быть равно нулю. Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq 9$.

Для того чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Так как $(x-3)^2$ может быть только положительным (поскольку $x \neq 3$), то второй множитель $(x-9)$ должен быть отрицательным.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ x-9 < 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$ \begin{cases} x \neq 3 \\ x < 9 \end{cases} $

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 3) \cup (3, 9)$. Изобразим это на числовой оси:

Нам необходимо найти наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа из множества решений: $1, 2, 4, 5, 6, 7, 8$.

Наибольшее из этих чисел — 8.

Ответ: 8.