Номер 38, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38. Найдите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $\frac{x+1}{x-5} \leq 0;$

2) $\frac{10-x}{x-2} \geq 0.$

1)

Для решения неравенства $\frac{x+1}{x-5} \le 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение (закрашенная точка на оси).
Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из решения (выколотая точка на оси).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби в каждом из получившихся интервалов:

Неравенство выполняется, когда выражение меньше или равно нулю. Из диаграммы видно, что это происходит на промежутке $x \in [-1, 5)$.
Нам нужно найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).
Натуральные числа, которые входят в промежуток $[-1, 5)$, это: 1, 2, 3, 4.
Наименьшее из этих чисел — 1.

Ответ: 1

2)

Решим неравенство $\frac{10-x}{x-2} \ge 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $10 - x = 0 \implies x = 10$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет включена в решение.
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Эта точка исключается из решения.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби в каждом из получившихся интервалов. Обратите внимание, что из-за множителя $(-x)$ в числителе знаки будут чередоваться начиная с минуса справа.

Неравенство выполняется, когда выражение больше или равно нулю. Это соответствует промежутку $x \in (2, 10]$.
Натуральные числа, которые входят в этот промежуток: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Наименьшее из этих чисел — 3.

Ответ: 3