Номер 36, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36. С помощью графика квадратичной функции и методом интервалов решите неравенство:

1) $x^2 - 2x - 5 \ge 0$;

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0$.

1) $x^2 - 2x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства мы можем использовать графический метод или метод интервалов.

Графический метод
1. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 2x - 5$. Графиком этой функции является парабола.
2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $x^2 - 2x - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $x_1 = 1 - \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{6}$.
4. Схематически изобразим параболу. Она направлена вверх и пересекает ось Ox в найденных точках.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых $x^2 - 2x - 5 \ge 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или выше неё. Из графика видно, что это происходит при $x \le 1 - \sqrt{6}$ и при $x \ge 1 + \sqrt{6}$.

Метод интервалов
1. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$. Как мы уже выяснили, это $x_1 = 1 - \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{6}$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 1 - \sqrt{6})$, $(1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6})$ и $(1 + \sqrt{6}; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $x^2 - 2x - 5$ на каждом из интервалов, выбрав пробную точку.
- В интервале $(-\infty; 1 - \sqrt{6})$ возьмем $x = -2$: $(-2)^2 - 2(-2) - 5 = 4 + 4 - 5 = 3 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6})$ возьмем $x = 1$: $1^2 - 2(1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6 < 0$. Знак "-".
- В интервале $(1 + \sqrt{6}; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $4^2 - 2(4) - 5 = 16 - 8 - 5 = 3 > 0$. Знак "+".
4. Так как мы решаем неравенство $x^2 - 2x - 5 \ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+", а также сами корни (так как неравенство нестрогое).
Решением являются промежутки $(-\infty, 1 - \sqrt{6}]$ и $[1 + \sqrt{6}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{6}] \cup [1 + \sqrt{6}; +\infty)$.

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0$

Решим это неравенство также двумя способами.

Графический метод
1. Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 2x + 15$. Её график — парабола.
2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
3. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 + 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Легко подобрать корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
4. Схематически изобразим параболу. Она направлена вниз и пересекает ось Ox в точках -5 и 3.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых $-x^2 - 2x + 15 \le 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или ниже неё. Из графика видно, что это происходит при $x \le -5$ и при $x \ge 3$.

Метод интервалов
1. Найдем корни уравнения $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $-x^2 - 2x + 15$ на каждом из интервалов.
- В интервале $(-\infty; -5)$ возьмем $x = -6$: $-(-6)^2 - 2(-6) + 15 = -36 + 12 + 15 = -9 < 0$. Знак "-".
- В интервале $(-5; 3)$ возьмем $x = 0$: $-0^2 - 2(0) + 15 = 15 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $-4^2 - 2(4) + 15 = -16 - 8 + 15 = -9 < 0$. Знак "-".
4. Мы решаем неравенство $-x^2 - 2x + 15 \le 0$, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "-", включая концы интервалов.
Решением являются промежутки $(-\infty, -5]$ и $[3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.