Номер 30, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30. Вычислите значение суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

1) $\begin{cases} b_1 + b_4 = 68,4, \\ b_2 + b_3 = -8,4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} b_1 - b_3 = 384, \\ b_1 + b_4 = 403,2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$ \begin{cases} b_1 + b_4 = 68,4 \\ b_2 + b_3 = -8,4 \end{cases} $

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель. Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_1 q^3 = 68,4 \\ b_1 q + b_1 q^2 = -8,4 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1 (1 + q^3) = 68,4 \\ b_1 q(1 + q) = -8,4 \end{cases} $

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить $b_1$ (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $q(1+q) \neq 0$):

$\frac{b_1 (1 + q^3)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{68,4}{-8,4}$

Сократим дробь в левой части, используя формулу суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = \frac{1-q+q^2}{q}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{68,4}{-8,4} = -\frac{684}{84} = -\frac{57 \cdot 12}{7 \cdot 12} = -\frac{57}{7}$

Получаем уравнение для $q$:

$\frac{1-q+q^2}{q} = -\frac{57}{7}$

$7(1-q+q^2) = -57q$

$7-7q+7q^2 = -57q$

$7q^2 + 50q + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 50^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{-98}{14} = -7$

$q_2 = \frac{-50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Рассмотрим первый случай, когда $q = -7$. Найдем $b_1$ из второго уравнения системы $b_1 q(1 + q) = -8,4$:

$b_1 \cdot (-7)(1 - 7) = -8,4$

$b_1 \cdot (-7)(-6) = -8,4$

$42 b_1 = -8,4$

$b_1 = \frac{-8,4}{42} = -0,2$

Теперь вычислим сумму первых пяти членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{-0,2((-7)^5 - 1)}{-7 - 1} = \frac{-0,2(-16807 - 1)}{-8} = \frac{-0,2(-16808)}{-8} = \frac{3361,6}{-8} = -420,2$

(Отметим, что для второго корня $q = -1/7$ получается $b_1=68,6$ и другое значение суммы $S_5$).

Ответ: -420,2

2)

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$ \begin{cases} b_1 - b_3 = 384 \\ b_1 + b_4 = 403,2 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в систему:

$ \begin{cases} b_1 - b_1 q^2 = 384 \\ b_1 + b_1 q^3 = 403,2 \end{cases} $

Вынесем $b_1$ за скобки:

$ \begin{cases} b_1 (1 - q^2) = 384 \\ b_1 (1 + q^3) = 403,2 \end{cases} $

Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $1-q^2 \neq 0$):

$\frac{b_1 (1 + q^3)}{b_1 (1 - q^2)} = \frac{403,2}{384}$

Упростим левую часть, используя формулы разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$ и суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{(1-q)(1+q)} = \frac{1-q+q^2}{1-q}$

Упростим правую часть:

$\frac{403,2}{384} = \frac{4032}{3840} = \frac{10,5 \cdot 384}{10 \cdot 384} = \frac{10,5}{10} = 1,05 = \frac{21}{20}$

Получаем уравнение для $q$:

$\frac{1-q+q^2}{1-q} = \frac{21}{20}$

$20(1-q+q^2) = 21(1-q)$

$20-20q+20q^2 = 21-21q$

$20q^2 + q - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 20} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0,2$

$q_2 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 20} = \frac{-10}{40} = -\frac{1}{4} = -0,25$

Рассмотрим второй случай, когда $q = -0,25$. Найдем $b_1$ из первого уравнения системы $b_1(1 - q^2) = 384$:

$b_1(1 - (-0,25)^2) = 384$

$b_1(1 - 0,0625) = 384$

$b_1(0,9375) = 384$

$b_1 = \frac{384}{0,9375} = \frac{384}{15/16} = 384 \cdot \frac{16}{15} = 25,6 \cdot 16 = 409,6$

Теперь вычислим сумму первых пяти членов $S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$.

$b_1 = 409,6$

$b_2 = 409,6 \cdot (-0,25) = -102,4$

$b_3 = -102,4 \cdot (-0,25) = 25,6$

$b_4 = 25,6 \cdot (-0,25) = -6,4$

$b_5 = -6,4 \cdot (-0,25) = 1,6$

$S_5 = 409,6 - 102,4 + 25,6 - 6,4 + 1,6 = 307,2 + 19,2 + 1,6 = 326,4 + 1,6 = 328$

(Отметим, что для первого корня $q=0,2$ получается $b_1=400$ и сумма $S_5 = 499,84$).

Ответ: 328