Номер 28, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если значение суммы первого и четвертого членов равно 23, а значение суммы третьего и шестого членов равно 31.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а ее разность как $d$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи известно, что сумма первого и четвертого членов равна 23. Запишем это в виде уравнения:
$a_1 + a_4 = 23$
Используя общую формулу, выразим четвертый член $a_4$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Подставим это выражение в уравнение:
$a_1 + (a_1 + 3d) = 23$
$2a_1 + 3d = 23$ (1)

Также из условия известно, что сумма третьего и шестого членов равна 31:
$a_3 + a_6 = 31$
Выразим третий и шестой члены через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 31$
$2a_1 + 7d = 31$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 3d = 23 \\ 2a_1 + 7d = 31\end{cases}$
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2a_1 + 7d) - (2a_1 + 3d) = 31 - 23$
$4d = 8$
$d = \frac{8}{4} = 2$

Теперь, зная разность $d=2$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение:
$2a_1 + 3(2) = 23$
$2a_1 + 6 = 23$
$2a_1 = 23 - 6$
$2a_1 = 17$
$a_1 = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: первый член прогрессии равен 8.5, а разность равна 2.