Номер 22, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Упростите выражение:

1) $\left[\left(1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)\right]:\left[\left(1-\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\frac{\operatorname{ctg}\left(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\operatorname{ctg}\left(180^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}}\right];$

2) $\frac{\sin^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha}{\cos^2\alpha - \operatorname{ctg}^2\alpha};$

3) $\frac{1}{8}\cos4\alpha + 0,5 \cos2\alpha + \frac{3}{8};$

4) $\frac{\sin^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha}{\cos^2\alpha - \operatorname{ctg}^2\alpha}.$

1) Упростим выражение по частям: сначала делимое, затем делитель.

Делимое: $ \left(1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} + \cos \frac{\alpha}{2}\right) $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2} $.

Выражение во второй скобке приведем к общему знаменателю: $ \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} + \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{\alpha}{2}} $.

Таким образом, делимое равно: $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \cos \frac{\alpha}{2} $.

Теперь упростим делитель: $ \left(1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{\text{ctg}\left(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \text{ctg}\left(180^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \frac{\alpha}{2}} $.

По основному тождеству $ 1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{2} $.

Применим формулы приведения:

$ \text{ctg}\left(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\right) = -\text{tg} \frac{\alpha}{2} $

$ \text{ctg}\left(180^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = -\text{ctg} \frac{\alpha}{2} $

Их произведение равно $ \left(-\text{tg} \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(-\text{ctg} \frac{\alpha}{2}\right) = \text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = 1 $.

Таким образом, делитель равен: $ \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \sin \frac{\alpha}{2} $.

В итоге, разделив упрощенное делимое на упрощенный делитель, получаем:

$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} $.

2) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha} $.

Преобразуем числитель, вынеся за скобки $ \text{tg}^2 \alpha $:$ \sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) = \text{tg}^2 \alpha (-\sin^2 \alpha) = -\text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $ \text{ctg}^2 \alpha $:$ \cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1) = \text{ctg}^2 \alpha (-\cos^2 \alpha) = -\text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{-\text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha}{-\text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha} = \text{tg}^6 \alpha $.

Ответ: $ \text{tg}^6 \alpha $.

3) Упростим выражение $ \frac{1}{8}\cos(4\alpha) + 0,5 \cos(2\alpha) + \frac{3}{8} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $, применив её к $ \cos(4\alpha) $:$ \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{1}{8}(2\cos^2(2\alpha) - 1) + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{3}{8} = \frac{2}{8}\cos^2(2\alpha) - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{3}{8} $

$ = \frac{1}{4}\cos^2(2\alpha) + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\cos^2(2\alpha) + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{1}{4} $.

Вынесем $ \frac{1}{4} $ за скобки. Получим формулу квадрата суммы:

$ \frac{1}{4}(\cos^2(2\alpha) + 2\cos(2\alpha) + 1) = \frac{1}{4}(\cos(2\alpha) + 1)^2 $.

Теперь воспользуемся формулой понижения степени $ 1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha $:

$ \frac{1}{4}(2\cos^2 \alpha)^2 = \frac{1}{4}(4\cos^4 \alpha) = \cos^4 \alpha $.

Ответ: $ \cos^4 \alpha $.

4) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha} $.

Данное выражение идентично выражению в пункте 2. Приведем альтернативный способ решения.

Преобразуем числитель: $ \sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Преобразуем знаменатель: $ \cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Найдем частное числителя и знаменателя:

$ \frac{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha} = \text{tg}^6 \alpha $.

Ответ: $ \text{tg}^6 \alpha $.