Номер 15, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Найдите $S_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = -1000$; $q = 0.5$; $n = 6$;

2) $b_1 = 400$; $q = 0.2$; $n = 7$;

3) $b_1 = 900$; $q = 0.01$; $n = 6$;

4) $b_1 = -500$; $q = -0.2$; $n = 8$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

1) Дано: $b_1 = -1000$, $q = 0,5$, $n = 6$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{-1000(0,5^6 - 1)}{0,5 - 1}$

Сначала вычислим $0,5^6$:

$0,5^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64} = 0,015625$

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_6 = \frac{-1000(0,015625 - 1)}{-0,5} = \frac{-1000(-0,984375)}{-0,5} = \frac{984,375}{-0,5} = -1968,75$

Ответ: $-1968,75$.

2) Дано: $b_1 = 400$, $q = 0,2$, $n = 7$.

Применим формулу суммы. Удобнее использовать ее в виде $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ при $|q| < 1$.

$S_7 = \frac{400(1 - 0,2^7)}{1 - 0,2}$

Вычислим $0,2^7$:

$0,2^7 = (\frac{1}{5})^7 = \frac{1}{78125} = 0,0000128$

Подставим в формулу:

$S_7 = \frac{400(1 - 0,0000128)}{1 - 0,2} = \frac{400(0,9999872)}{0,8} = 500 \times 0,9999872 = 499,9936$

Ответ: $499,9936$.

3) Дано: $b_1 = 900$, $q = 0,01$, $n = 6$.

Так как количество членов невелико, а знаменатель $q=0,01$ очень мал, можно найти сумму, вычислив и сложив все 6 членов прогрессии.

$b_1 = 900$

$b_2 = b_1 \times q = 900 \times 0,01 = 9$

$b_3 = b_2 \times q = 9 \times 0,01 = 0,09$

$b_4 = b_3 \times q = 0,09 \times 0,01 = 0,0009$

$b_5 = b_4 \times q = 0,0009 \times 0,01 = 0,000009$

$b_6 = b_5 \times q = 0,000009 \times 0,01 = 0,00000009$

Теперь сложим эти члены:

$S_6 = 900 + 9 + 0,09 + 0,0009 + 0,000009 + 0,00000009 = 909,09090909$

Ответ: $909,09090909$.

4) Дано: $b_1 = -500$, $q = -0,2$, $n = 8$.

Подставим значения в формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_8 = \frac{-500((-0,2)^8 - 1)}{-0,2 - 1}$

Так как степень $n=8$ четная, $(-0,2)^8 = 0,2^8$.

$0,2^8 = (\frac{1}{5})^8 = \frac{1}{390625} = 0,00000256$

Подставим это значение в формулу:

$S_8 = \frac{-500(0,00000256 - 1)}{-1,2} = \frac{-500(-0,99999744)}{-1,2} = \frac{499,99872}{-1,2} = -416,6656$

Ответ: $-416,6656$.