Номер 8, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Найдите:

$\cos(\alpha - \beta)$, $\sin(\alpha + \beta)$, $\text{tg}(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha = \frac{6}{7}$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$, $\sin\beta = \frac{7}{8}$, $\cos\beta = \frac{\sqrt{15}}{8}$ и $\alpha, \beta \in$ I четверти.

cos(α - β)

Для вычисления косинуса разности воспользуемся формулой сложения аргументов: $cos(α - β) = cosα \cdot cosβ + sinα \cdot sinβ$.

Из условия задачи нам даны значения тригонометрических функций для углов α и β, которые находятся в I четверти: $sinα = \frac{6}{7}$, $cosα = \frac{\sqrt{13}}{7}$, $sinβ = \frac{7}{8}$ и $cosβ = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Подставим эти значения в формулу:

$cos(α - β) = \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{\sqrt{13 \cdot 15}}{56} + \frac{42}{56} = \frac{\sqrt{195} + 42}{56}$.

Ответ: $\frac{42 + \sqrt{195}}{56}$

sin(α + β)

Для вычисления синуса суммы воспользуемся формулой сложения аргументов: $sin(α + β) = sinα \cdot cosβ + cosα \cdot sinβ$.

Подставим известные значения:

$sin(α + β) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} + \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56}$

tg(α - β)

Тангенс разности углов можно найти по формуле $tg(α - β) = \frac{sin(α - β)}{cos(α - β)}$.

Значение $cos(α - β)$ мы уже вычислили в первом пункте. Теперь найдем $sin(α - β)$, используя формулу синуса разности: $sin(α - β) = sinα \cdot cosβ - cosα \cdot sinβ$.

Подставим значения:

$sin(α - β) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} - \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56}$.

Теперь, имея значения синуса и косинуса разности, найдем тангенс:

$tg(α - β) = \frac{\frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56}}{\frac{42 + \sqrt{195}}{56}} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}}$