Номер 7, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Найдите:

$ \cos(\alpha + \beta) $, $ \sin(\alpha - \beta) $, $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{1}{6} $, $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{35}}{6} $, $ \sin\beta = \frac{1}{9} $, $ \cos\beta = \frac{4\sqrt{5}}{9} $ и $ \alpha, \beta \in $ I четверти.

Даны значения синусов и косинусов для углов $ \alpha $ и $ \beta $, которые находятся в I четверти. Это означает, что все их тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

Исходные данные:
$ \sin\alpha = \frac{1}{6} $, $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{35}}{6} $
$ \sin\beta = \frac{1}{9} $, $ \cos\beta = \frac{4\sqrt{5}}{9} $

Проверим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $ для данных углов.
Для угла $ \alpha $: $ (\frac{1}{6})^2 + (\frac{\sqrt{35}}{6})^2 = \frac{1}{36} + \frac{35}{36} = \frac{36}{36} = 1 $.
Для угла $ \beta $: $ (\frac{1}{9})^2 + (\frac{4\sqrt{5}}{9})^2 = \frac{1}{81} + \frac{16 \cdot 5}{81} = \frac{1}{81} + \frac{80}{81} = \frac{81}{81} = 1 $.
Все данные корректны.

cos(α + β)
Используем формулу косинуса суммы:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
Подставляем известные значения:
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9} $
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{35 \cdot 5}}{54} - \frac{1}{54} = \frac{4\sqrt{175}}{54} - \frac{1}{54} $
Упростим корень $ \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} $.
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4 \cdot 5\sqrt{7}}{54} - \frac{1}{54} = \frac{20\sqrt{7}}{54} - \frac{1}{54} = \frac{20\sqrt{7} - 1}{54} $
Ответ: $ \frac{20\sqrt{7} - 1}{54} $

sin(α - β)
Используем формулу синуса разности:
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
Подставляем известные значения:
$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} - \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{1}{9} $
$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{4\sqrt{5}}{54} - \frac{\sqrt{35}}{54} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{35}}{54} $
Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{35}}{54} $

tg(α + β)
Используем формулу тангенса через синус и косинус:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $
Значение $ \cos(\alpha + \beta) $ мы уже нашли. Теперь найдем $ \sin(\alpha + \beta) $ по формуле синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} + \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{1}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{54} + \frac{\sqrt{35}}{54} = \frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{54} $
Теперь разделим $ \sin(\alpha + \beta) $ на $ \cos(\alpha + \beta) $:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{54}}{\frac{20\sqrt{7} - 1}{54}} $
Знаменатели 54 сокращаются:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{20\sqrt{7} - 1} $
Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{20\sqrt{7} - 1} $