Номер 1, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Найдите значение выражения:

1) $ \cos60^\circ - \sin60^\circ + \operatorname{ctg}60^\circ - \operatorname{tg}60^\circ; $

2) $ -\sin30^\circ + \cos30^\circ - \operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{tg}30^\circ; $

3) $ \cos45^\circ - \operatorname{tg}45^\circ - \sin45^\circ + \operatorname{ctg}45^\circ; $

4) $ \sin0^\circ - \cos30^\circ + \operatorname{tg}45^\circ - \operatorname{ctg}60^\circ; $

5) $ -\cos0^\circ + \operatorname{tg}30^\circ - \operatorname{ctg}45^\circ + \sin60^\circ; $

6) $ \operatorname{tg}0^\circ - \operatorname{ctg}90^\circ - \sin0^\circ - \cos90^\circ. $

1) $cos60^\circ - sin60^\circ + ctg60^\circ - tg60^\circ$
Для решения подставим известные значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$
$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$tg60^\circ = \sqrt{3}$
Подставляем эти значения в исходное выражение:
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$
Сгруппируем слагаемые:
$\frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} + (\frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2} - \frac{7\sqrt{3}}{6}$
Теперь приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{6} - \frac{7\sqrt{3}}{6} = \frac{3 - 7\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{3 - 7\sqrt{3}}{6}$

2) $-sin30^\circ + cos30^\circ - ctg30^\circ + tg30^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций для угла $30^\circ$:
$sin30^\circ = \frac{1}{2}$
$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg30^\circ = \sqrt{3}$
$tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Подставляем эти значения в выражение:
$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
Сгруппируем слагаемые:
$-\frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$-\frac{1}{2} + (\frac{3\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6}) = -\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
Приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$-\frac{3}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 - \sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{3}}{6}$

3) $cos45^\circ - tg45^\circ - sin45^\circ + ctg45^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$:
$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$tg45^\circ = 1$
$sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$ctg45^\circ = 1$
Подставляем эти значения в выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
Сгруппируем слагаемые:
$(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-1 + 1) = 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

4) $sin0^\circ - cos30^\circ + tg45^\circ - ctg60^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$sin0^\circ = 0$
$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg45^\circ = 1$
$ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Подставляем эти значения в выражение:
$0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$
Приведем дроби с $\sqrt{3}$ к общему знаменателю 6:
$1 - (\frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6}) = 1 - \frac{5\sqrt{3}}{6}$
Приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$\frac{6}{6} - \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{6 - 5\sqrt{3}}{6}$

5) $-cos0^\circ + tg30^\circ - ctg45^\circ + sin60^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$cos0^\circ = 1$
$tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$ctg45^\circ = 1$
$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем эти значения в выражение:
$-1 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
Сгруппируем слагаемые:
$(-1 - 1) + (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + (\frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6})$
$-2 + \frac{5\sqrt{3}}{6}$
Приведем все выражение к общему знаменателю 6:
$-\frac{12}{6} + \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{-12 + 5\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $\frac{-12 + 5\sqrt{3}}{6}$

6) $tg0^\circ - ctg90^\circ - sin0^\circ - cos90^\circ$
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$tg0^\circ = 0$
$ctg90^\circ = 0$
$sin0^\circ = 0$
$cos90^\circ = 0$
Подставляем эти значения в выражение:
$0 - 0 - 0 - 0 = 0$
Ответ: $0$