Номер 10, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Выбирается целое число от -9 до 10 включительно. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $ (x^2 - 9)(x^2 - 8x - 9) < 0 $:

A) 0,25;

B) 0,3;

C) 0,4;

D) 0,2;

E) 0,5.

Для нахождения искомой вероятности необходимо найти отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Это классическое определение вероятности.

1. Найдем общее число возможных исходов (N).

В задаче сказано, что выбирается целое число от -9 до 10 включительно. Чтобы посчитать количество целых чисел в этом диапазоне, можно использовать формулу $N = b - a + 1$, где $a$ — начальное число, а $b$ — конечное.

В нашем случае $a = -9$ и $b = 10$.

$N = 10 - (-9) + 1 = 10 + 9 + 1 = 20$.

Таким образом, общее число возможных исходов равно 20.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятным исходом является выбор такого целого числа, которое является решением неравенства $(x^2 - 9)(x^2 - 8x - 9) < 0$.

Для решения этого неравенства разложим каждый из квадратных трехчленов на множители. Для этого найдем их корни.

Первый множитель: $x^2 - 9$. Уравнение $x^2 - 9 = 0$ имеет корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Следовательно, $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Второй множитель: $x^2 - 8x - 9$. Решим уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и -1. Таким образом, корни $x_3 = 9$ и $x_4 = -1$. Следовательно, $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1)$.

Теперь неравенство можно записать в виде:

$(x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 9) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нанесем корни $-3, -1, 3, 9$ на числовую прямую. Они разделят ее на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале.

При $x > 9$ (например, $x=10$) все множители положительны, произведение положительно.
При переходе через каждый корень знак произведения будет меняться, так как все корни имеют кратность 1.
Таким образом, знаки на интервалах будут чередоваться:
$(9, +\infty)$: +
$(3, 9)$: -
$(-1, 3)$: +
$(-3, -1)$: -
$(-\infty, -3)$: +

Неравенство $(x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 9) < 0$ выполняется на тех интервалах, где выражение отрицательно. Это интервалы $(-3, -1)$ и $(3, 9)$.

Теперь найдем все целые числа, которые попадают в эти интервалы:

Для интервала $(-3, -1)$ это число $-2$.

Для интервала $(3, 9)$ это числа $4, 5, 6, 7, 8$.

Все найденные целые числа ($-2, 4, 5, 6, 7, 8$) принадлежат исходному диапазону от -9 до 10. Таким образом, число благоприятных исходов $m$ равно количеству этих чисел:

$m = 1 + 5 = 6$.

3. Вычислим вероятность (P).

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3.