Номер 9, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Выбирается натуральное число от 1 до 10 включительно. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства

$(x^2 - 2x - 24)(x^2 - 2x - 15) \le 0:$

A) 0,25;

B) 0,3;

C) 0,4;

D) 0,1;

E) 0,2.

По условию задачи, случайным образом выбирается натуральное число из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Общее число возможных исходов равно 10.

Необходимо найти вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $(x^2 - 2x - 24)(x^2 - 2x - 15) \le 0$.

Для решения этого неравенства сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$(t - 24)(t - 15) \le 0$

Это квадратичное неравенство относительно $t$. Его решением является промежуток между корнями $t_1 = 15$ и $t_2 = 24$. Таким образом:

$15 \le t \le 24$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 2x$ вместо $t$. Это приводит к системе двух неравенств:

$\begin{cases}x^2 - 2x \ge 15 \\x^2 - 2x \le 24\end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решаем неравенство $x^2 - 2x \ge 15$, или $x^2 - 2x - 15 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Поскольку парабола $y = x^2 - 2x - 15$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется вне промежутка между корнями, то есть при $x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

2. Решаем неравенство $x^2 - 2x \le 24$, или $x^2 - 2x - 24 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_3 = 6$ и $x_4 = -4$.

Поскольку парабола $y = x^2 - 2x - 24$ также имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на промежутке между корнями, то есть при $x \in [-4, 6]$.

Теперь нам нужно найти пересечение решений обоих неравенств, то есть найти $x$, удовлетворяющие обоим условиям: $x \in ( (-\infty, -3] \cup [5, \infty) ) \cap [-4, 6]$.

Пересечение этих множеств дает объединение двух отрезков: $[-4, -3] \cup [5, 6]$.

Итак, множество решений исходного неравенства есть $x \in [-4, -3] \cup [5, 6]$.

Теперь определим, какие натуральные числа от 1 до 10 являются решениями.

Отрезок $[-4, -3]$ не содержит натуральных чисел.

Отрезок $[5, 6]$ содержит два натуральных числа: 5 и 6.

Следовательно, у нас есть 2 благоприятных исхода.

Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{2}{10} = 0,2$

Этот результат соответствует варианту E.

Ответ: 0,2.