Номер 7, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Выбирается натуральное число от 1 до 20. Найдите вероятность того, что это число является корнем уравнения $(x^2 - 10x + 24) \cdot (x^2 - 8x + 15) = 0$:

A) 0,25;

B) 0,5;

C) 0,4;

D) 0,2;

E) 0,1.

Дано

Множество натуральных чисел для выбора: от 1 до 20.
Уравнение: $(x^2 - 10x + 24) \cdot (x^2 - 8x + 15) = 0$.

Найти:

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное натуральное число от 1 до 20 является корнем данного уравнения.

Решение

Вероятность события находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $N$.
По условию, выбирается натуральное число от 1 до 20. Общее количество таких чисел равно 20. Следовательно, $N = 20$.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$.
Благоприятный исход — это выбор числа, которое является корнем уравнения $(x^2 - 10x + 24) \cdot (x^2 - 8x + 15) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, нам необходимо решить два квадратных уравнения:

а) $x^2 - 10x + 24 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 24. Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$. Оба корня являются натуральными числами и входят в диапазон от 1 до 20.

б) $x^2 - 8x + 15 = 0$
Решим второе уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Методом подбора находим корни: $x_3 = 3$ и $x_4 = 5$. Оба корня также являются натуральными числами и входят в диапазон от 1 до 20.

Таким образом, все корни исходного уравнения — это числа $\{3, 4, 5, 6\}$. Все они различны и принадлежат множеству натуральных чисел от 1 до 20. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству этих корней, то есть $m = 4$.

3. Вычислим искомую вероятность $P$.
$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: 0,2.