Номер 2, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{\pi}{6} - 4 \cos \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - 5 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3};$

2) $\cos \frac{\pi}{2} + 9 \sin \frac{\pi}{2} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} - 7 \operatorname{tg} 0^{\circ};$

3) $\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} - 11 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4};$

4) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} - 5 \sin \frac{\pi}{3} + 6 \cos \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}.$

1) $ \sin\frac{\pi}{6} - 4 \cos\frac{\pi}{6} + \tg\frac{\pi}{6} - 5 \ctg\frac{\pi}{3} $

Для решения этого выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для стандартных углов. В данном случае это $ \frac{\pi}{6} $ (30°) и $ \frac{\pi}{3} $ (60°).

Значения функций:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $

Выполним умножение и упростим:

$ \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} $

Приведем слагаемые, содержащие $ \sqrt{3} $, к общему знаменателю 3:

$ \frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3} $.

2) $ \cos\frac{\pi}{2} + 9 \sin\frac{\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4} - 7\tg0^\circ $

Для решения нам понадобятся следующие табличные значения:

$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $

$ \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

$ \tg0^\circ = 0 $

Подставим эти значения в выражение:

$ 0 + 9 \cdot 1 - 1 - 7 \cdot 0 $

Выполним арифметические действия:

$ 9 - 1 = 8 $

Ответ: 8.

3) $ \sqrt{3} \cos\frac{\pi}{6} + 2\ctg\frac{\pi}{3} - 11 \ctg\frac{\pi}{4} $

Найдем значения необходимых тригонометрических функций:

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

Подставим значения в выражение:

$ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 11 \cdot 1 $

Упростим выражение:

$ \frac{3}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} - 11 $

Вычтем целые числа:

$ \frac{3}{2} - \frac{22}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{19}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ -\frac{19}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

4) $ \ctg\frac{\pi}{2} - 5 \sin\frac{\pi}{3} + 6\cos\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{6} $

Найдем значения необходимых тригонометрических функций:

$ \ctg\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ 0 - 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} $

Упростим выражение:

$ -\frac{5\sqrt{3}}{2} + 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} $

Сгруппируем слагаемые и приведем дроби с $ \sqrt{3} $ к общему знаменателю 6:

$ 3 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 3 - \left(\frac{3 \cdot 5\sqrt{3}}{6} + \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \left(\frac{15\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \frac{17\sqrt{3}}{6} $

Ответ: $ 3 - \frac{17\sqrt{3}}{6} $.