Номер 3, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Вычислите:

1)

$\frac{\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ}{\sin\frac{\pi}{6} + \cos 60^\circ}$;

2)

$\frac{\sqrt{3} \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ + \sqrt{2} \cdot \sin\frac{\pi}{4}}{2 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ - \cos 0^\circ}$;

3)

$\frac{\operatorname{tg} 30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \operatorname{ctg} 45^\circ}$;

4)

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}{5 \cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}}$;

5)

$6\cos 40^\circ - 8\cos^3 40^\circ$;

6)

$\frac{4\sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ}$.

1) Для вычисления выражения $\frac{\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \cdot \tg 60^\circ}{\sin\frac{\pi}{6} + \cos 60^\circ}$ подставим табличные значения тригонометрических функций. Учитываем, что угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.
Нам понадобятся следующие значения:
$\cos\frac{\pi}{6} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tg 60^\circ = \sqrt{3}$
$\sin\frac{\pi}{6} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
Подставляем эти значения в исходное выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 3}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{6}{2} = \frac{\sqrt{3} - 6}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 6}{2}$.

2) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{3} \cdot \text{ctg} 30^\circ + \sqrt{2} \cdot \sin\frac{\pi}{4}}{2 \cdot \tg 45^\circ - \cos 0^\circ}$ подставим табличные значения. Учитываем, что $\frac{\pi}{4}$ радиан равно $45^\circ$.
Значения функций:
$\text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$
$\sin\frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tg 45^\circ = 1$
$\cos 0^\circ = 1$
Подставляем в выражение:
$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{3 + \frac{2}{2}}{2 - 1} = \frac{3 + 1}{1} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: $4$.

3) Для вычисления выражения $\frac{\tg 30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \text{ctg} 45^\circ}$ подставим табличные значения. Учитываем, что $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ и $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$.
Значения функций:
$\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{2} = \sin 90^\circ = 1$
$\text{ctg} 45^\circ = 1$
Подставляем в выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - 4 \cdot 1} = \frac{\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}}{1 - 4} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{-3} = -\frac{5\sqrt{3}}{6 \cdot 3} = -\frac{5\sqrt{3}}{18}$.
Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{18}$.

4) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}{5 \cdot \tg\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4}}$ подставим табличные значения. Учитываем, что $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$.
Значения функций:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tg\frac{\pi}{4} = \tg 45^\circ = 1$
$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = \text{ctg} 45^\circ = 1$
Подставляем в выражение:
$\frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{5 \cdot 1 - 4 \cdot 1} = \frac{\frac{2}{2} + \frac{2}{2}}{5 - 4} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: $2$.

5) Рассмотрим выражение $6\cos 40^\circ - 8\cos^3 40^\circ$.
Вынесем за скобки общий множитель $-2$:
$6\cos 40^\circ - 8\cos^3 40^\circ = -2(4\cos^3 40^\circ - 3\cos 40^\circ)$.
Выражение в скобках является формулой косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
Применим эту формулу для $\alpha = 40^\circ$:
$4\cos^3 40^\circ - 3\cos 40^\circ = \cos(3 \cdot 40^\circ) = \cos(120^\circ)$.
Значение косинуса $120^\circ$ равно $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:
$-2 \cdot \cos(120^\circ) = -2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.
Ответ: $1$.

6) Рассмотрим выражение $\frac{4\sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ}$.
Для упрощения числителя воспользуемся формулой приведения и формулой синуса двойного угла.
По формуле приведения: $\sin 65^\circ = \sin(90^\circ - 25^\circ) = \cos 25^\circ$.
Тогда числитель $4\sin 25^\circ \sin 65^\circ$ становится $4\sin 25^\circ \cos 25^\circ$.
Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$4\sin 25^\circ \cos 25^\circ = 2 \cdot (2\sin 25^\circ \cos 25^\circ) = 2\sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin 50^\circ$.
Подставим полученное выражение в дробь: $\frac{2\sin 50^\circ}{\cos 40^\circ}$.
Снова применим формулу приведения для числителя: $\sin 50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ$.
В итоге получаем: $\frac{2\cos 40^\circ}{\cos 40^\circ} = 2$.
Ответ: $2$.