Номер 4, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Найдите:

1) $cos\\alpha$, $sin2\\alpha$, $cos2\\alpha$, если $sin\\alpha = 0,7$ и $0^{\\circ} < \\alpha < 90^{\\circ}$;

2) $sin\\alpha$, $ctg\\alpha$, $tg2\\alpha$, если $cos\\alpha = 0,6$ и $270^{\\circ} < \\alpha < 360^{\\circ}$;

3) $cos\\alpha$, $sin\\alpha$, $cos2\\alpha$, если $tg\\alpha = 5$ и $180^{\\circ} < \\alpha < 270^{\\circ}$.

1) cosa, sin2a, cos2a, если sina = 0,7 и 0° < a < 90°

Нам дано, что $ \sin a = 0,7 $ и угол $ a $ находится в первой четверти ($ 0° < a < 90° $). В этой четверти все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

1. Найдем $ \cos a $. Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $. Отсюда $ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a $. Подставляем известное значение $ \sin a $: $ \cos^2 a = 1 - (0,7)^2 = 1 - 0,49 = 0,51 $. Так как угол $ a $ в первой четверти, $ \cos a $ положителен: $ \cos a = \sqrt{0,51} $.

2. Найдем $ \sin 2a $. Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $. Подставляем известные значения $ \sin a $ и $ \cos a $: $ \sin 2a = 2 \cdot 0,7 \cdot \sqrt{0,51} = 1,4\sqrt{0,51} $.

3. Найдем $ \cos 2a $. Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a $. Подставляем известное значение $ \sin a $: $ \cos 2a = 1 - 2 \cdot (0,7)^2 = 1 - 2 \cdot 0,49 = 1 - 0,98 = 0,02 $.

Ответ: $ \cos a = \sqrt{0,51} $, $ \sin 2a = 1,4\sqrt{0,51} $, $ \cos 2a = 0,02 $.

2) sina, ctga, tg2a, если cosa = 0,6 и 270° < a < 360°

Нам дано, что $ \cos a = 0,6 $ и угол $ a $ находится в четвертой четверти ($ 270° < a < 360° $). В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс/котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \sin a $. Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $. $ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $. Так как угол $ a $ в четвертой четверти, $ \sin a $ отрицателен: $ \sin a = -\sqrt{0,64} = -0,8 $.

2. Найдем $ \operatorname{ctg} a $. Используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a} $. $ \operatorname{ctg} a = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75 $.

3. Найдем $ \operatorname{tg} 2a $. Сначала найдем $ \operatorname{tg} a $. $ \operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $. Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $ \operatorname{tg} 2a = \frac{2 \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a} $. $ \operatorname{tg} 2a = \frac{2 \cdot (-\frac{4}{3})}{1 - (-\frac{4}{3})^2} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{8 \cdot 3}{7} = \frac{24}{7} $.

Ответ: $ \sin a = -0,8 $, $ \operatorname{ctg} a = -0,75 $, $ \operatorname{tg} 2a = \frac{24}{7} $.

3) cosa, sina, cos2a, если tga = 5 и 180° < a < 270°

Нам дано, что $ \operatorname{tg} a = 5 $ и угол $ a $ находится в третьей четверти ($ 180° < a < 270° $). В этой четверти тангенс положителен, а синус и косинус отрицательны.

1. Найдем $ \cos a $. Используем тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} $. $ \cos^2 a = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 a} = \frac{1}{1 + 5^2} = \frac{1}{1 + 25} = \frac{1}{26} $. Так как угол $ a $ в третьей четверти, $ \cos a $ отрицателен: $ \cos a = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.

2. Найдем $ \sin a $. Используем определение тангенса: $ \sin a = \operatorname{tg} a \cdot \cos a $. $ \sin a = 5 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{26}}) = -\frac{5}{\sqrt{26}} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $. Знак синуса отрицателен, что соответствует третьей четверти.

3. Найдем $ \cos 2a $. Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $ \cos 2a = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 a}{1 + \operatorname{tg}^2 a} $. $ \cos 2a = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = \frac{1 - 25}{1 + 25} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13} $.

Ответ: $ \cos a = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \sin a = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \cos 2a = -\frac{12}{13} $.