Номер 11, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11. Найдите $n$ и $S_m$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = -35; a_n = -20; d = 5 \text{ и } m = 6;$

2) $a_2 = 30; a_n = 20; d = -5 \text{ и } m = 5;$

3) $a_4 = 6,2; a_n = 7,4; d = -0,4 \text{ и } m = 10;$

4) $a_3 = -6,6; a_n = -7,3; d = 0,7 \text{ и } m = 20.$

1) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_1 = -35$, $a_n = -20$, $d = 5$ и $m = 6$.
Сначала найдем номер члена прогрессии $n$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$-20 = -35 + (n-1) \cdot 5$
$35 - 20 = 5(n-1)$
$15 = 5(n-1)$
$n-1 = \frac{15}{5}$
$n-1 = 3$
$n = 4$
Теперь найдем сумму первых $m=6$ членов прогрессии $S_6$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = -35$, $d = 5$ и $m = 6$:
$S_6 = \frac{2 \cdot (-35) + (6-1) \cdot 5}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-70 + 5 \cdot 5}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-70 + 25}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-45}{2} \cdot 6$
$S_6 = -45 \cdot 3 = -135$
Ответ: $n=4$, $S_6 = -135$.

2) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_2 = 30$, $a_n = 20$, $d = -5$ и $m = 5$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$, следовательно, $a_1 = a_2 - d$.
$a_1 = 30 - (-5) = 30 + 5 = 35$
Теперь, зная $a_1$, найдем номер члена прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = 35$, $a_n = 20$, $d = -5$.
$20 = 35 + (n-1) \cdot (-5)$
$20 - 35 = -5(n-1)$
$-15 = -5(n-1)$
$n-1 = \frac{-15}{-5}$
$n-1 = 3$
$n = 4$
Теперь найдем сумму первых $m=5$ членов прогрессии $S_5$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = 35$, $d = -5$ и $m = 5$:
$S_5 = \frac{2 \cdot 35 + (5-1) \cdot (-5)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{70 + 4 \cdot (-5)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{70 - 20}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{50}{2} \cdot 5$
$S_5 = 25 \cdot 5 = 125$
Ответ: $n=4$, $S_5 = 125$.

3) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_4 = 6,2$, $a_n = 7,4$, $d = -0,4$ и $m = 10$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_4 = a_1 + 3d$, следовательно, $a_1 = a_4 - 3d$.
$a_1 = 6,2 - 3 \cdot (-0,4) = 6,2 + 1,2 = 7,4$
Теперь найдем номер члена прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = 7,4$, $a_n = 7,4$, $d = -0,4$.
$7,4 = 7,4 + (n-1) \cdot (-0,4)$
$0 = (n-1) \cdot (-0,4)$
$n-1 = 0$
$n = 1$
Теперь найдем сумму первых $m=10$ членов прогрессии $S_{10}$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = 7,4$, $d = -0,4$ и $m = 10$:
$S_{10} = \frac{2 \cdot 7,4 + (10-1) \cdot (-0,4)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = (2 \cdot 7,4 + 9 \cdot (-0,4)) \cdot 5$
$S_{10} = (14,8 - 3,6) \cdot 5$
$S_{10} = 11,2 \cdot 5 = 56$
Ответ: $n=1$, $S_{10} = 56$.

4) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_3 = -6,6$, $a_n = -7,3$, $d = 0,7$ и $m = 20$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = a_1 + 2d$, следовательно, $a_1 = a_3 - 2d$.
$a_1 = -6,6 - 2 \cdot 0,7 = -6,6 - 1,4 = -8$
Теперь найдем номер члена прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = -8$, $a_n = -7,3$, $d = 0,7$.
$-7,3 = -8 + (n-1) \cdot 0,7$
$8 - 7,3 = 0,7(n-1)$
$0,7 = 0,7(n-1)$
$n-1 = 1$
$n = 2$
Теперь найдем сумму первых $m=20$ членов прогрессии $S_{20}$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = -8$, $d = 0,7$ и $m = 20$:
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-8) + (20-1) \cdot 0,7}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot (-8) + 19 \cdot 0,7) \cdot 10$
$S_{20} = (-16 + 13,3) \cdot 10$
$S_{20} = -2,7 \cdot 10 = -27$
Ответ: $n=2$, $S_{20} = -27$.