Номер 17, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Упростите выражение:

1) $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha);$

2) $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2.$

1) Для упрощения выражения $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения для каждого множителя.

• $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Аргумент $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в первой четверти, где тангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).
• $ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$. Аргумент $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $2\pi$, функция не меняется.
• $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$. Аргумент $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (косинус на синус).
• $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. В силу периодичности функции тангенса (период равен $\pi$).

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Сгруппируем множители и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$:

$(ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) = 1 \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) = -ctg(\alpha) \cdot sin(\alpha)$

Заменим $ctg(\alpha)$ на отношение $\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$:

$-\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$

Ответ: $-cos(\alpha)$.

2) Упростим выражение $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2$ с помощью формул приведения.

• $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$. Аргумент $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Функция не меняется.
• $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Аргумент $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Функция меняется на кофункцию. Следовательно, $(tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$.
• $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Аргумент $\pi + \alpha$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Функция не меняется.
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$. Аргумент $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Функция меняется на кофункцию. Следовательно, $(ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 = (-tg(\alpha))^2 = tg^2(\alpha)$.

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha)$

Объединим степени тангенса:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg^3(\alpha)$

Используем тождество $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}$:

$cos(\alpha) \cdot \frac{1}{tg^2(\alpha)} \cdot tg^3(\alpha) = cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Теперь заменим $tg(\alpha)$ на отношение $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$:

$cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$.