Номер 14, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Найдите $b_1$ и $b_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_2 = -243; q = -\frac{1}{3}; n = 4;$

2) $b_3 = 81; q = -\frac{1}{3}; n = 8;$

3) $b_4 = 128; q = -\frac{1}{2}; n = 10;$

4) $b_5 = 64; q = -\frac{1}{2}; n = 9.$

1) Дано: член геометрической прогрессии $b_2 = -243$, знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, и номер искомого члена $n = 4$.
Задача — найти первый член прогрессии $b_1$ и n-й член $b_n$, то есть $b_4$.
Формула k-го члена геометрической прогрессии: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.
Найдем $b_1$, используя известный член $b_2$:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$
Отсюда $b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-243}{-1/3} = -243 \cdot (-3) = 729$.
Теперь найдем $b_4$, используя найденный $b_1$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 729 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 729 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{729}{27} = -27$.
Ответ: $b_1 = 729$, $b_4 = -27$.

2) Дано: $b_3 = 81$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 8$.
Задача — найти $b_1$ и $b_8$.
Найдем $b_1$, используя $b_3$:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{81}{(-1/3)^2} = \frac{81}{1/9} = 81 \cdot 9 = 729$.
Теперь найдем $b_8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7 = 729 \cdot (-\frac{1}{3})^7 = 3^6 \cdot (-\frac{1}{3^7}) = -\frac{3^6}{3^7} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $b_1 = 729$, $b_8 = -\frac{1}{3}$.

3) Дано: $b_4 = 128$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 10$.
Задача — найти $b_1$ и $b_{10}$.
Найдем $b_1$, используя $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{128}{(-1/2)^3} = \frac{128}{-1/8} = 128 \cdot (-8) = -1024$.
Теперь найдем $b_{10}$:
$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9 = -1024 \cdot (-\frac{1}{2})^9 = -2^{10} \cdot (-\frac{1}{2^9}) = \frac{2^{10}}{2^9} = 2$.
Ответ: $b_1 = -1024$, $b_{10} = 2$.

4) Дано: $b_5 = 64$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 9$.
Задача — найти $b_1$ и $b_9$.
Найдем $b_1$, используя $b_5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{64}{(-1/2)^4} = \frac{64}{1/16} = 64 \cdot 16 = 1024$.
Теперь найдем $b_9$:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8 = 1024 \cdot (-\frac{1}{2})^8 = 2^{10} \cdot \frac{1}{2^8} = \frac{2^{10}}{2^8} = 2^2 = 4$.
Ответ: $b_1 = 1024$, $b_9 = 4$.