Номер 18, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Докажите, что значение выражения $2\sin(-\alpha) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) - 2\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$ равно нулю.

Для доказательства того, что значение данного выражения равно нулю, необходимо последовательно упростить каждое его слагаемое, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Исходное выражение: $2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим и упростим выражение по частям.

Упрощение первого члена: $2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Применяем формулу приведения для $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$. Так как угол $\frac{3\pi}{2}$ находится на вертикальной оси единичной окружности, функция синус меняется на косинус. Аргумент $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ соответствует третьей координатной четверти, где синус имеет отрицательное значение. Следовательно, $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Подставляем полученные значения в первый член: $2 \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла, $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем, что первый член равен $\sin(2\alpha)$.

Упрощение второго члена: $\cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$

Применяем формулу приведения для $\cos(360^\circ - 2\alpha)$. Так как $360^\circ$ соответствует $2\pi$ радиан, а косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(360^\circ - 2\alpha) = \cos(-2\alpha)$. В силу четности функции косинус, $\cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Применяем формулу приведения для $\ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Так как угол $\frac{\pi}{2}$ находится на вертикальной оси, функция котангенс меняется на тангенс. Аргумент $(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$ соответствует первой координатной четверти, где все тригонометрические функции положительны. Поэтому, $\ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \tan(2\alpha)$.
Перемножаем упрощенные части: $\cos(2\alpha) \cdot \tan(2\alpha)$.
Зная, что $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$, получаем: $\cos(2\alpha) \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \sin(2\alpha)$.

Упрощение третьего члена: $-2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(-x)$.
$\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.
Применяем формулу приведения для $\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Функция косинус меняется на синус, а знак остается положительным (первая четверть). Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.
Следовательно, третий член выражения равен $-2\sin(2\alpha)$.

Итоговое сложение

Теперь сложим все упрощенные части выражения:
$\sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 0$.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения равно нулю.

Ответ: В результате упрощения выражения с использованием формул приведения и свойств тригонометрических функций было получено: $\sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 0$. Это доказывает, что значение исходного выражения равно нулю.