Номер 23, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Верно ли равенство:

$\frac{\cos^2(\pi + 4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{\sin^2(\pi - (\alpha + \beta)) + \tan^2(\alpha + \beta) - \cos^2(\frac{3\pi}{2} - (\alpha + \beta))} = \cos^2(\alpha + \beta)?$

Для проверки верности равенства преобразуем его левую часть. Для этого последовательно упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.

Упрощение числителя

Исходное выражение в числителе: $ \cos^2(\pi + 4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) $.

Применим формулы приведения:

1. $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $, следовательно $ \cos^2(\pi + 4\alpha) = (-\cos(4\alpha))^2 = \cos^2(4\alpha) $.

2. $ \cos(y - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - y)) = \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin(y) $, следовательно $ \cos^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin^2(4\alpha) $.

Подставим полученные выражения обратно в числитель:

$ \cos^2(4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \sin^2(4\alpha) $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:

$ (\sin^2(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)) - \cos^2(\alpha + \beta) = 1 - \cos^2(\alpha + \beta) $

Еще раз применив тождество, получим окончательный вид числителя:

$ 1 - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin^2(\alpha + \beta) $

Упрощение знаменателя

Исходное выражение в знаменателе: $ \sin^2(\pi - (\alpha + \beta)) + \text{tg}^2(\alpha + \beta) - \cos^2(\frac{3\pi}{2} - (\alpha + \beta)) $.

Применим формулы приведения:

1. $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $, следовательно $ \sin^2(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin^2(\alpha + \beta) $.

2. $ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x) $, следовательно $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = (-\sin(\alpha + \beta))^2 = \sin^2(\alpha + \beta) $.

Подставим упрощенные выражения в знаменатель:

$ \sin^2(\alpha + \beta) + \text{tg}^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) $

Первое и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и знаменатель упрощается до:

$ \text{tg}^2(\alpha + \beta) $

Преобразование левой части равенства

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\text{tg}^2(\alpha + \beta)} $

Используя определение тангенса $ \text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $, заменим $ \text{tg}^2(\alpha + \beta) $:

$ \frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\cos^2(\alpha + \beta)}} $

Выполним деление дробей, "перевернув" знаменатель:

$ \sin^2(\alpha + \beta) \cdot \frac{\cos^2(\alpha + \beta)}{\sin^2(\alpha + \beta)} $

При условии, что выражение имеет смысл (то есть знаменатель исходной дроби не равен нулю, а значит $ \text{tg}(\alpha+\beta) \neq 0 $ и $ \sin(\alpha+\beta) \neq 0 $), мы можем сократить $ \sin^2(\alpha + \beta) $:

$ \cos^2(\alpha + \beta) $

Вывод

В результате преобразования левая часть равенства стала равна $ \cos^2(\alpha + \beta) $. Правая часть исходного равенства также равна $ \cos^2(\alpha + \beta) $. Таким образом, мы получили тождество:

$ \cos^2(\alpha + \beta) = \cos^2(\alpha + \beta) $

Данное равенство является верным для всех допустимых значений переменных $ \alpha $ и $ \beta $, при которых левая часть определена. Условие определенности — знаменатель не равен нулю ($ \text{tg}^2(\alpha+\beta) \neq 0 $) и тангенс существует ($ \cos(\alpha+\beta) \neq 0 $). Объединенное условие: $ \alpha+\beta \neq \frac{k\pi}{2} $, где $ k $ — любое целое число.

Ответ: Да, равенство верно при всех допустимых значениях $ \alpha $ и $ \beta $.