Номер 29, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29. Найдите четвертый член и знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, значение суммы которой равно 6, а значение пяти первых членов равно $ \frac{93}{16} $.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Поскольку прогрессия бесконечная и имеет сумму, ее знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Согласно условиям задачи, у нас есть система из двух уравнений:

1) $S = \frac{b_1}{1-q} = 6$

2) $S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{93}{16}$

Мы можем подставить выражение из первого уравнения во второе. Заметим, что $S_5$ можно записать как $S_5 = (\frac{b_1}{1-q}) \cdot (1-q^5)$. Таким образом, $S_5 = S \cdot (1-q^5)$.

Чтобы найти знаменатель $q$, подставим известные значения $S=6$ и $S_5=\frac{93}{16}$ в выведенное соотношение:

$\frac{93}{16} = 6 \cdot (1-q^5)$

Выразим $(1-q^5)$, разделив обе части на 6:

$1-q^5 = \frac{93}{16 \cdot 6} = \frac{93}{96}$

Сократим полученную дробь на 3:

$1-q^5 = \frac{31}{32}$

Теперь найдем $q^5$:

$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$

Извлекая корень пятой степени, находим $q$:

$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$

Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{2}$.

Для нахождения четвертого члена $b_4$ нам сначала нужно определить первый член прогрессии $b_1$. Используем первое уравнение системы $S = \frac{b_1}{1-q}$ и найденное значение $q=\frac{1}{2}$:

$6 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{2}}$

$6 = \frac{b_1}{\frac{1}{2}}$

$b_1 = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Теперь мы можем найти четвертый член $b_4$ по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставляем значения $b_1=3$ и $q=\frac{1}{2}$:

$b_4 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

Ответ: четвертый член равен $\frac{3}{8}$.