Номер 31, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31. Найдите значение суммы первых восьми членов арифметической прогрессии, если:

1)

$$ \begin{cases} 2a_2 - 5a_6 = 23, \\ a_1 - 9a_5 = 86; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} 4a_3 - 5a_2 = -75, \\ 6a_2 + 5a_7 = 135. \end{cases} $$

1) Чтобы найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии ($S_8$), воспользуемся формулой $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$, где $a_1$ – первый член, а $d$ – разность прогрессии. Для $n=8$ формула имеет вид: $S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 4(2a_1 + 7d)$.

Нам дана система уравнений:$\begin{cases}2a_2 - 5a_6 = 23 \\a_1 - 9a_5 = 86\end{cases}$
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в систему:$\begin{cases}2(a_1 + d) - 5(a_1 + 5d) = 23 \\a_1 - 9(a_1 + 4d) = 86\end{cases}$

Упростим полученные уравнения:$\begin{cases}2a_1 + 2d - 5a_1 - 25d = 23 \\a_1 - 9a_1 - 36d = 86\end{cases}$
что приводит к системе:$\begin{cases}-3a_1 - 23d = 23 \\-8a_1 - 36d = 86\end{cases}$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 8, а второе на -3, чтобы исключить $a_1$:$\begin{cases}-24a_1 - 184d = 184 \\24a_1 + 108d = -258\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-24a_1 - 184d) + (24a_1 + 108d) = 184 - 258$
$-76d = -74$
$d = \frac{-74}{-76} = \frac{37}{38}$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в уравнение $-3a_1 - 23d = 23$:
$-3a_1 - 23 \cdot \frac{37}{38} = 23$
$-3a_1 = 23 + 23 \cdot \frac{37}{38} = 23 \left(1 + \frac{37}{38}\right) = 23 \cdot \frac{75}{38}$
$a_1 = -\frac{23 \cdot 75}{3 \cdot 38} = -\frac{23 \cdot 25}{38} = -\frac{575}{38}$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, вычислим сумму $S_8$:
$S_8 = 4(2a_1 + 7d) = 4\left(2 \cdot \left(-\frac{575}{38}\right) + 7 \cdot \frac{37}{38}\right)$
$S_8 = 4\left(\frac{-1150}{38} + \frac{259}{38}\right) = 4\left(\frac{-891}{38}\right)$
$S_8 = 2 \cdot \frac{-891}{19} = -\frac{1782}{19}$
Ответ: $S_8 = -\frac{1782}{19}$.

2) Аналогично первому пункту, нам нужно найти $S_8 = 4(2a_1 + 7d)$.

Дана система уравнений:$\begin{cases}4a_3 - 5a_2 = -75 \\6a_2 + 5a_7 = 135\end{cases}$
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_7 = a_1 + 6d$

Подставим эти выражения в систему:$\begin{cases}4(a_1 + 2d) - 5(a_1 + d) = -75 \\6(a_1 + d) + 5(a_1 + 6d) = 135\end{cases}$

Упростим уравнения:$\begin{cases}4a_1 + 8d - 5a_1 - 5d = -75 \\6a_1 + 6d + 5a_1 + 30d = 135\end{cases}$
что приводит к системе:$\begin{cases}-a_1 + 3d = -75 \\11a_1 + 36d = 135\end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = 3d + 75$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$11(3d + 75) + 36d = 135$
$33d + 825 + 36d = 135$
$69d = 135 - 825$
$69d = -690$
$d = -10$

Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = 3d + 75 = 3(-10) + 75 = -30 + 75 = 45$

Теперь, зная $a_1 = 45$ и $d = -10$, вычислим сумму $S_8$:
$S_8 = 4(2a_1 + 7d) = 4(2 \cdot 45 + 7 \cdot (-10))$
$S_8 = 4(90 - 70) = 4(20) = 80$
Ответ: $S_8 = 80$.