Номер 33, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33. Способом введения новой переменной решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (u+v)^2 - 4(u+v) = 45, \\ (u-v)^2 - 2(u-v) = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (u+v)^2 - 5(u+v) = -4, \\ (u-v)^2 - (u-v) = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} u - uv + v = 1, \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} u + uv + v = 5, \\ u^2 + uv + v^2 = 7. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (u+v)^2 - 4(u+v) = 45, \\ (u-v)^2 - 2(u-v) = 3; \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 - 4a - 45 = 0, \\ b^2 - 2b - 3 = 0; \end{cases} $$ Решим каждое квадратное уравнение отдельно.
Для $a^2 - 4a - 45 = 0$:
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.
$a_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9$, $a_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5$.
Для $b^2 - 2b - 3 = 0$:
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$b_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$, $b_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
Теперь выполним обратную замену для всех возможных пар $(a, b)$:
Случай 1: $a = 9, b = 3$. $$ \begin{cases} u+v = 9, \\ u-v = 3; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = 12$, откуда $u = 6$. Подставляя в первое уравнение, находим $v = 9 - 6 = 3$. Решение: $(6, 3)$.
Случай 2: $a = 9, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = 9, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = 8$, откуда $u = 4$. Тогда $v = 9 - 4 = 5$. Решение: $(4, 5)$.
Случай 3: $a = -5, b = 3$. $$ \begin{cases} u+v = -5, \\ u-v = 3; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = -2$, откуда $u = -1$. Тогда $v = -5 - (-1) = -4$. Решение: $(-1, -4)$.
Случай 4: $a = -5, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = -5, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = -6$, откуда $u = -3$. Тогда $v = -5 - (-3) = -2$. Решение: $(-3, -2)$.
Ответ: $(6, 3), (4, 5), (-1, -4), (-3, -2)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (u+v)^2 - 5(u+v) = -4, \\ (u-v)^2 - (u-v) = 2; \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 - 5a + 4 = 0, \\ b^2 - b - 2 = 0; \end{cases} $$ Решим каждое уравнение.
Для $a^2 - 5a + 4 = 0$, по теореме Виета, корни $a_1 = 1, a_2 = 4$.
Для $b^2 - b - 2 = 0$, по теореме Виета, корни $b_1 = 2, b_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для всех возможных пар $(a, b)$:
Случай 1: $a = 4, b = 2$. $$ \begin{cases} u+v = 4, \\ u-v = 2; \end{cases} $$ $2u = 6 \Rightarrow u = 3$. Тогда $v = 4 - 3 = 1$. Решение: $(3, 1)$.
Случай 2: $a = 4, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = 4, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ $2u = 3 \Rightarrow u = 1.5$. Тогда $v = 4 - 1.5 = 2.5$. Решение: $(1.5, 2.5)$.
Случай 3: $a = 1, b = 2$. $$ \begin{cases} u+v = 1, \\ u-v = 2; \end{cases} $$ $2u = 3 \Rightarrow u = 1.5$. Тогда $v = 1 - 1.5 = -0.5$. Решение: $(1.5, -0.5)$.
Случай 4: $a = 1, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = 1, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ $2u = 0 \Rightarrow u = 0$. Тогда $v = 1 - 0 = 1$. Решение: $(0, 1)$.
Ответ: $(3, 1), (1.5, 2.5), (1.5, -0.5), (0, 1)$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u - uv + v = 1, \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11; \end{cases} $$ Перепишем систему в более удобном виде: $$ \begin{cases} (u+v) - uv = 1, \\ (u^2+v^2) + 2(u+v) = 11; \end{cases} $$ Введем новые переменные: $S = u+v$ и $P = uv$.
Используя тождество $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$, преобразуем систему: $$ \begin{cases} S - P = 1, \\ (S^2 - 2P) + 2S = 11; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $P = S - 1$ и подставим во второе:
$S^2 - 2(S-1) + 2S = 11$
$S^2 - 2S + 2 + 2S = 11$
$S^2 = 9$, откуда $S_1 = 3, S_2 = -3$.
Случай 1: $S = 3$.
$P = S - 1 = 3 - 1 = 2$.
Имеем систему $u+v = 3, uv = 2$. По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=1, t_2=2$.
Следовательно, решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.
Случай 2: $S = -3$.
$P = S - 1 = -3 - 1 = -4$.
Имеем систему $u+v = -3, uv = -4$. $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 4 = 0$, то есть $t^2 + 3t - 4 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=1, t_2=-4$.
Следовательно, решения: $(1, -4)$ и $(-4, 1)$.
Ответ: $(1, 2), (2, 1), (1, -4), (-4, 1)$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u + uv + v = 5, \\ u^2 + uv + v^2 = 7; \end{cases} $$ Перепишем систему: $$ \begin{cases} (u+v) + uv = 5, \\ (u^2+v^2) + uv = 7; \end{cases} $$ Введем новые переменные: $S = u+v$ и $P = uv$.
Используя тождество $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$, преобразуем второе уравнение: $S^2 - 2P + P = 7$, то есть $S^2 - P = 7$.
Получаем систему для $S$ и $P$: $$ \begin{cases} S + P = 5, \\ S^2 - P = 7; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $P = 5 - S$ и подставим во второе:
$S^2 - (5 - S) = 7$
$S^2 + S - 5 - 7 = 0$
$S^2 + S - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $S_1 = 3, S_2 = -4$.
Случай 1: $S = 3$.
$P = 5 - S = 5 - 3 = 2$.
Имеем систему $u+v = 3, uv = 2$. $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни $t_1=1, t_2=2$.
Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.
Случай 2: $S = -4$.
$P = 5 - S = 5 - (-4) = 9$.
Имеем систему $u+v = -4, uv = 9$. $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.