Номер 37, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. Решите неравенство:

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$;

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$.

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x - 5 = 0$. Это позволит нам определить точки, в которых выражение меняет знак.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты: $a = 6$, $b = -13$, $c = -5$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Теперь найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$.
Мы нашли нули функции $y = 6x^2 - 13x - 5$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 6$ положителен, ветви параболы направлены вверх.
Это означает, что функция принимает положительные значения ($> 0$) вне интервала между корнями.
Изобразим это на числовой оси. Точки $-\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{2}$ будут выколотыми, так как неравенство строгое ($>$).

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов: $x < -1/3$ и $x > 5/2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (5/2; +\infty)$.

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$

Аналогично первому пункту, найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 33x - 27 = 0$.
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 33$, $c = -27$.
Вычислим дискриминант:
$D = 33^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 1089 + 432 = 1521$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-72}{8} = -9$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Графиком функции $y = 4x^2 + 33x - 27$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=4 > 0$).
Нас интересуют значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения ($< 0$). Это происходит на интервале между корнями.
Нанесем корни на числовую ось. Точки $-9$ и $\frac{3}{4}$ выколотые, так как неравенство строгое ($<$).

Решением неравенства является интервал $(-9; 3/4)$.
Ответ: $x \in (-9; 3/4)$.