Номер 42, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Решите систему неравенств:

1)

$$ \begin{cases} x^2 - 4x \geq 0, \\ x - 12 > 0 \end{cases} $$;

2)

$$ \begin{cases} 6x - x^2 < 0, \\ -4 - x \leq 0 \end{cases} $$.

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x \ge 0, \\ x - 12 > 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 4) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 4) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x - 12 > 0$.

Перенеся 12 в правую часть, получим: $x > 12$.

Решение второго неравенства: $x \in (12, \infty)$.

Для решения системы необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty, 0] \cup [4, \infty)) \cap (12, \infty)$.

Общей частью этих множеств является промежуток $(12, \infty)$.

Ответ: $x \in (12, \infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - x^2 < 0, \\ -4 - x \le 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $6x - x^2 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(6 - x) < 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(6 - x) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = 6x - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Значения функции отрицательны (меньше нуля) при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $-4 - x \le 0$.

Перенесем $-x$ в правую часть: $-4 \le x$, что эквивалентно $x \ge -4$.

Решение второго неравенства: $x \in [-4, \infty)$.

Для решения системы найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty, 0) \cup (6, \infty)) \cap [-4, \infty)$.

Рассмотрим пересечение для каждого из интервалов отдельно:

а) Пересечение $(-\infty, 0)$ и $[-4, \infty)$ дает промежуток $[-4, 0)$.

б) Пересечение $(6, \infty)$ и $[-4, \infty)$ дает промежуток $(6, \infty)$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение системы.

Ответ: $x \in [-4, 0) \cup (6, \infty)$.