Номер 45, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. 1) Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} |2x - 3| \le 1, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}$

2) Найдите множество всех целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} |2x + 5| \le 3, \\ x^2 - 5x - 24 \le 0. \end{cases}$

1) Чтобы найти сумму целых чисел, удовлетворяющих системе, решим каждое неравенство отдельно и найдем пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $|2x - 3| \le 1$.

Данное неравенство с модулем равносильно системе (или двойному неравенству):

$-1 \le 2x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 + 3 \le 2x \le 1 + 3$

$2 \le 2x \le 4$

Разделим все части на 2:

$1 \le x \le 2$

Решением первого неравенства является отрезок $[1; 2]$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) > 0$

Найдем корни уравнения $x(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 0$. В виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем решение системы, то есть пересечение решений обоих неравенств: $x \in [1; 2]$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[1; 2]$.

Целые числа, которые принадлежат отрезку $[1; 2]$, это 1 и 2.

Вычислим их сумму:

$1 + 2 = 3$

Ответ: 3

2) Чтобы найти множество всех целых чисел, удовлетворяющих системе, решим каждое неравенство и найдем пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $|2x + 5| \le 3$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-3 \le 2x + 5 \le 3$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-3 - 5 \le 2x \le 3 - 5$

$-8 \le 2x \le -2$

Разделим все части на 2:

$-4 \le x \le -1$

Решением первого неравенства является отрезок $[-4; -1]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x - 24 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 24$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями (включая сами корни).

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-3; 8]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-4; -1]$ и $x \in [-3; 8]$.

Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-3; -1]$.

Целые числа, принадлежащие отрезку $[-3; -1]$, это -3, -2 и -1.

Таким образом, искомое множество целых чисел: $\{-3, -2, -1\}$.

Ответ: $\{-3, -2, -1\}$