Номер 48, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 4x + 3;$

2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2;$

3) $y = -x^2 + 3x - 1;$

4) $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 1.$

1) $y = 2x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, ее график — парабола. В данном случае коэффициенты: $a=2$, $b=-4$, $c=3$.
Поскольку коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_0 = y(x_0) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$
Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
При $x=0$, $y = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.
При $y=0$, получаем уравнение $2x^2 - 4x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$.
Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось OX.

Для построения графика найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x=1$.
Точка, симметричная точке $(0, 3)$ относительно прямой $x=1$, имеет координаты $(2, 3)$.
Проверим: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 - 8 + 3 = 3$.
Возьмем $x=-1$: $y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$. Точка $(-1, 9)$.

Нанесем точки на координатную плоскость: вершину $(1, 1)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$, $(-1, 9)$ и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветвями, направленными вверх. График не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 3)$.

2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2$

Это квадратичная функция. Коэффициенты: $a=\frac{1}{2}$, $b=2$, $c=-2$.
Так как $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2$
$y_0 = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) - 2 = \frac{1}{2}(4) - 4 - 2 = 2 - 6 = -4$
Вершина параболы находится в точке $(-2, -4)$. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0)^2 + 2(0) - 2 = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.
При $y=0$, получаем уравнение $\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 = 0$. Умножим на 2: $x^2 + 4x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = 4^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = -2 - 2\sqrt{2} \approx -4.83$, $x_2 = -2 + 2\sqrt{2} \approx 0.83$.
Точки пересечения с осью OX: $(-2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{2}, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, -2)$ относительно оси $x=-2$, это $(-4, -2)$.
Проверим: $y(-4) = \frac{1}{2}(-4)^2 + 2(-4) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
Возьмем $x=2$: $y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) - 2 = 2 + 4 - 2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветвями вверх. Пересекает ось OY в точке $(0, -2)$ и ось OX в точках $(-2 - 2\sqrt{2}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{2}, 0)$.

3) $y = -x^2 + 3x - 1$

Это квадратичная функция. Коэффициенты: $a=-1$, $b=3$, $c=-1$.
Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$
$y_0 = -(1.5)^2 + 3(1.5) - 1 = -2.25 + 4.5 - 1 = 1.25$
Вершина параболы находится в точке $(1.5, 1.25)$. Ось симметрии — прямая $x=1.5$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = -(0)^2 + 3(0) - 1 = -1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$.
При $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 3x - 1 = 0$, или $x^2 - 3x + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.38$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, -1)$ относительно оси $x=1.5$, это $(3, -1)$.
Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 3(3) - 1 = -9 + 9 - 1 = -1$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = -(1)^2 + 3(1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 3x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1.5, 1.25)$, ветвями вниз. Пересекает ось OY в точке $(0, -1)$ и ось OX в точках $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$.

4) $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 1$

Это квадратичная функция. Коэффициенты: $a=-\frac{1}{3}$, $b=-1$, $c=1$.
Так как $a=-\frac{1}{3} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{2/3} = -1.5$
$y_0 = -\frac{1}{3}(-1.5)^2 - (-1.5) + 1 = -\frac{1}{3}(2.25) + 1.5 + 1 = -0.75 + 2.5 = 1.75$
Вершина параболы находится в точке $(-1.5, 1.75)$. Ось симметрии — прямая $x=-1.5$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = -\frac{1}{3}(0)^2 - 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.
При $y=0$, получаем уравнение $-\frac{1}{3}x^2 - x + 1 = 0$. Умножим на -3: $x^2 + 3x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2} \approx -3.79$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \approx 0.79$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, 1)$ относительно оси $x=-1.5$, это $(-3, 1)$.
Проверим: $y(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 - (-3) + 1 = -3 + 3 + 1 = 1$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = -\frac{1}{3}(1)^2 - 1 + 1 = -\frac{1}{3}$. Точка $(1, -1/3)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}x^2 - x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1.5, 1.75)$, ветвями вниз. Пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.