Номер 43, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43. 1) Найдите наименьшее и наибольшее натуральные числа, которые удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} -x^2 + 6x + 16 > 0, \\ x^2 - 12x + 27 < 0. \end{cases} $

2) Вычислите значение суммы наименьшего и наибольшего целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $ \begin{cases} x^2 + 8x + 7 \ge 0, \\ x^2 + 15x + 36 < 0. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases}-x^2 + 6x + 16 > 0 \\x^2 - 12x + 27 < 0\end{cases}$

Решим первое неравенство $-x^2 + 6x + 16 > 0$. Для этого умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 6x - 16 < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$. Графиком функции $y = x^2 - 6x - 16$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-2, 8)$.

Решим второе неравенство $x^2 - 12x + 27 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 9$. Графиком функции $y = x^2 - 12x + 27$ является парабола с ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (3, 9)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-2, 8) \cap (3, 9)$. Общим решением системы является интервал $(3, 9)$.

Нам необходимо найти натуральные числа, принадлежащие этому интервалу. Это числа $4, 5, 6, 7, 8$.

Наименьшее натуральное число из этого набора равно 4, а наибольшее равно 8.

Ответ: наименьшее натуральное число 4, наибольшее натуральное число 8.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 + 8x + 7 \ge 0 \\x^2 + 15x + 36 < 0\end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 8x + 7 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 8x + 7$ направлены вверх, неравенство выполняется для значений $x$ вне отрезка между корнями, включая сами корни: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 + 15x + 36 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 36 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -12$ и $x_2 = -3$. Ветви параболы $y = x^2 + 15x + 36$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-12, -3)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)) \cap (-12, -3)$. Результатом пересечения является промежуток $(-12, -7]$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку, это: $-11, -10, -9, -8, -7$.

Наименьшее целое число в этом решении равно -11, а наибольшее целое число равно -7.

Вычислим сумму наименьшего и наибольшего целых чисел: $-11 + (-7) = -18$.

Ответ: -18.