Номер 46, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46. В координатной плоскости покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $\begin{cases} y < x^2, \\ x - 5 \ge 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y < -x^2 + 2, \\ x^2 + y^2 + 2y \ge 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y > x^2 - 2x, \\ x^2 + y^2 - 4y \ge 1. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y < x^2, \\ x - 5 \ge 0; \end{cases} $$

Первое неравенство $y < x^2$ задает множество точек, лежащих ниже параболы $y = x^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх. Так как неравенство строгое ($<$), граница (сама парабола) не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x - 5 \ge 0$ можно переписать в виде $x \ge 5$. Это неравенство задает полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = 5$, включая саму прямую. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница (прямая $x = 5$) включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: область, которая находится одновременно ниже параболы $y = x^2$ и правее прямой $x=5$ (включая прямую).

Ответ: Искомое множество точек — это область в правой части координатной плоскости, ограниченная снизу и слева сплошной линией $x=5$ и сверху пунктирной линией параболы $y=x^2$.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y < 2; \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница (окружность) включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x - y < 2$ можно переписать в виде $y > x - 2$. Это неравенство задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = x - 2$. Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Так как неравенство строгое ($<$), граница (сама прямая) не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, расположенная выше пунктирной прямой $y=x-2$. Эта прямая является хордой окружности, проходящей через точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Искомое множество точек — это сегмент круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 2, ограниченный сплошной дугой окружности и пунктирной хордой $y=x-2$, содержащий центр круга.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y < -x^2 + 2, \\ x^2 + y^2 + 2y \ge 3; \end{cases} $$

Первое неравенство $y < -x^2 + 2$ задает множество точек, лежащих ниже параболы $y = -x^2 + 2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вниз. Неравенство строгое ($<$), поэтому граница (парабола) будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 + 2y \ge 3$ преобразуем, выделив полный квадрат для переменной $y$: $x^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 \ge 3$ $x^2 + (y + 1)^2 \ge 4$ Это неравенство задает множество точек, лежащих вне круга (включая границу) с центром в точке $(0, -1)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница (окружность) будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: область, которая находится одновременно ниже пунктирной параболы $y = -x^2 + 2$ и вне сплошной окружности $x^2 + (y+1)^2 = 4$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная сверху пунктирной параболой $y=-x^2+2$ и "вырезанная" изнутри сплошной окружностью $x^2+(y+1)^2=4$.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y > x^2 - 2x, \\ x^2 + y^2 - 4y \ge 1; \end{cases} $$

Первое неравенство $y > x^2 - 2x$ преобразуем, выделив полный квадрат для переменной $x$: $y > (x^2 - 2x + 1) - 1$ $y > (x - 1)^2 - 1$ Это неравенство задает множество точек, лежащих выше параболы $y = (x-1)^2 - 1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$, ветви направлены вверх. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница (парабола) будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 - 4y \ge 1$ преобразуем, выделив полный квадрат для $y$: $x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 \ge 1$ $x^2 + (y - 2)^2 \ge 5$ Это неравенство задает множество точек, лежащих вне круга (включая границу) с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{5} \approx 2.24$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница (окружность) будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: область, которая находится одновременно выше пунктирной параболы $y = (x-1)^2 - 1$ и вне сплошной окружности $x^2 + (y-2)^2 = 5$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, лежащая "внутри" (выше) ветвей пунктирной параболы $y=(x-1)^2-1$, из которой "вырезана" область, лежащая внутри сплошной окружности $x^2+(y-2)^2=5$.